点评：本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合，详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例. 变式训练
请以5次多项式函数为例说明秦九韶算法，并画出程序框图. 解：设f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 首先，让我们以5次多项式一步步地进行改写： f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0 =（（a5x3+a4x2+ a3x+a2）x+a1）x+a0 =（（（a5x2+a4x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0 =（（（（a5x+a4）x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0.
上面的分层计算,只用了小括号，计算时，首先计算最内层的括号，然后由里向外逐层计算，直到最外层的括号，然后加上常数项即可. 程序框图如下图：
例2 已知n次多项式Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an，如果在一种算法中，计算x0k（k=2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P10(x0)的值共需要__________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1（k＝0，1，2，…，n－1）．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算P10(x0)的值共需要___________次运算.
第16页 共171页
答案：65 20
点评：秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达
(n?1)n，加法最多n次.秦九韶算法通过转化把2乘法运算的次数减少到最多n次，加法最多n次.
例3 已知多项式函数f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7，求当x=5时的函数的值. 解析：把多项式变形为：f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7 =((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7. 计算的过程可以列表表示为：
最后的系数2 677即为所求的值. 算法过程： v0=2； v1=2×5－5=5； v2=5×5－4=21； v3=21×5+3=108； v4=108×5－6=534； v5=534×5+7=2 677.
点评：如果多项式函数中有缺项的话，要以系数为0的项补齐后再计算. 知能训练
当x=2时，用秦九韶算法求多项式f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值． 解法一：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式： f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6.
第17页 共171页
按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=2时的值. v0=3;
v1=v0×2+8=3×2+8=14; v2=v1×2-3=14×2-3=25; v3=v2×2+5=25×2+5=55; v4=v3×2+12=55×2+12=122; v5=v4×2-6=122×2-6=238. ∴当x=2时，多项式的值为238.
解法二：f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6， 则f(2)=((((3×2+8)×2－3)×2+5)×2+12)×2－6＝238． 拓展提升
用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=3时的值. 解：f(x)=((((((7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x v0=7； v1=7×3+6=27； v2=27×3+5=86； v3=86×3+4=262； v4=262×3+3=789； v5=789×3+2=2 369； v6=2 369×3+1=7 108； v7=7 108×3+0=21 324. ∴f(3)=21 324. 课堂小结
第18页 共171页
1.秦九韶算法的方法和步骤. 2.秦九韶算法的计算机程序框图. 作业
已知函数f(x)=x3－2x2－5x+8,求f(9)的值.
解：f(x)=x3－2x2－5x+8=(x2－2x－5)x+8=((x－2)x－5)x+8 ∴f(9)=((9－2)×9－5)×9+8=530.
设计感想
古老的算法散发浓郁的现代气息，这是一节充满智慧的课.本节主要介绍了秦九韶算法.
通过对秦九韶算法的学习，对算法本身有哪些进一步的认识？
教师引导学生思考、讨论、概括，小结时要关注如下几点：（1）算法具有通用的特点，可以解决一类问题；（2）解决同一类问题，可以有不同的算法，但计算的效率是不同的，应该选择高效的算法；（3）算法的种类虽多，但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法等等.
第3课时 案例3 进位制
导入新课 情境导入
在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.今天我们来学习一下进位制. 推进新课 新知探究
第19页 共171页
提出问题
（1）你都了解哪些进位制？ （2）举出常见的进位制.
（3）思考非十进制数转换为十进制数的转化方法.
（4）思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方法.
活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路． 讨论结果：
（1）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制等等.也就是说：“满几进一”就是几进制，几进制的基数（都是大于1的整数）就是几.
（2）在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.
（3）十进制使用0~9十个数字.计数时，几个数字排成一行，从右起，第一位是个位，个位上的数字是几，就表示几个一；第二位是十位，十位上的数字是几，就表示几个十；接着依次是百位、千位、万位……
例如：十进制数3 721中的3表示3个千，7表示7个百，2表示2个十，1表示1个一.于是，我们得到下面的式子： 3 721=3×103+7×102+2×101+1×100.
与十进制类似，其他的进位制也可以按照位置原则计数.由于每一种进位制的基数不同，所用的数字个数也不同.如二进制用0和1两个数字，七进制用0~6七
第20页 共171页
2020年人教版高中数学必修3全册精品教案(全套完整版)
