?12?C.?,? ?23?
则f(105.5)=________.
?12?D.?,? ?23?
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x)f(x+2)=-1,当2≤x≤3时,f(x)=x,
(3)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[0,1]上是增加的,设a=f(3),
b=f(2),c=f(2),则a,b,c的大小关系是________.
(1)A (2)2.5 (3)a>b>c [(1)因为f(x)是偶函数,所以其图像关于y轴对称, 又f(x)在[0,+∞)上是增加的,
f(2x-1)<f ??,
3
112
所以|2x-1|<,所以<x<. 333
(2)由已知,可得f(x+4)=f[(x+2)+2]=-
?1???
f1x+
=-
-11
=f(x),
fx故函数f(x)的周期为4.
所以f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5), 因为2≤2.5≤3,由题意,得f(2.5)=2.5. 所以f(105.5)=2.5
(3)由f(x+1)=-f(x)得f(x+2)=f(x),即函数f(x)的周期为2,则f(3)=f(1),f(2)=f(0),f(2)=f(2-2)=f(2-2),
由于0<2-2<1,且函数f(x)在[0,1]上是增加的, 所以f(3)>f(2)>f(2),即a>b>c.]
1.(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x+x,则f(2)=________.
12 [法一:令x>0,则-x<0. ∴f(-x)=-2x+x.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)=2x-x(x>0). ∴f(2)=2×2-2=12.
3
2
3
23
2
3
2
法二:f(2)=-f(-2) =-[2×(-2)+(-2)]=12.]
2.(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)=xln(x+a+x)为偶函数,则a=________. 1 [∵f(x)为偶函数,∴f(-x)-f(x)=0恒成立,
∴-xln(-x+a+x)-xln(x+a+x)=0恒成立,∴xln a=0恒成立,∴ln a=0,即a=1.]
2
2
2
3
2