第三节 函数的奇偶性与周期性
[考纲传真] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
1．奇函数、偶函数的概念
图像关于原点对称的函数叫作奇函数． 图像关于y轴对称的函数叫作偶函数． 2．奇(偶)函数的性质
(1)对于函数f(x)，f(x)为奇函数?f(－x)＝－f(x)；
f(x)为偶函数?f(－x)＝f(x)．
(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性．
(3)如果奇函数y＝f(x)在原点有定义，则f(0)＝0. 3．函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(x＋T)＝
f(x)，则f(x)为周期函数．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
(3)若T是函数y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，且n≠0)也是函数y＝f(x)的一个周期． [常用结论]
1．函数奇偶性常用结论
如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． 2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)． (2)若f(x＋a)＝
11
fx，则T＝2a(a＞0)． ，则T＝2a(a＞0)．
[基础自测]
(3)若f(x＋a)＝－
fx1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．
(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．
( ) ( )
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． ( )
(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则f(x)是周期为2a的周期函数．
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．已知f(x)＝ax＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( ) 1111A．－ B． C． D．－
3322B [依题意b＝0，且2a＝－(a－1)， 11∴b＝0且a＝，则a＋b＝.]
33
3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A．y＝x＋sin 2x 1xC．y＝2＋x 2
B．y＝x－cos x D．y＝x＋sin x
22
2
( )
D [A项，定义域为R，f(－x)＝－x－sin 2x＝－f(x)，为奇函数，故不符合题意； B项，定义域为R，f(－x)＝x－cos x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意； 11－xxC项，定义域为R，f(－x)＝2＋－x＝2＋x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；
22D项，定义域为R，f(－x)＝x－sin x，－f(x)＝－x－sin x，因为f(－x)≠－f(x)，且f(－x)≠f(x)，故为非奇非偶函数．]
4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为( ) A．－1 C．1
B．0 D．2
2
2
2
B [∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0， 又f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(0)＝0.]
5．(教材改编)已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a＜
b＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b，－a]上有( )
A．最大值4 C．最大值－3
B．最小值－4 D．最小值－3
B [法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B．
法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]， 由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，
∴－4≤f(x)≤3，即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4，f(x)max＝3，故选B．]
判断函数的奇偶性 【例1】 (1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
C [对于A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－
h(x)，
∴h(x)是奇函数，A错．
对于B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，
∴h(x)是偶函数，B错．
对于C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．
对于D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，
∴h(x)是偶函数，D错．] (2)判断下列函数的奇偶性． ①f(x)＝lg
x－1
； x＋1
2
②f(x)＝ln(x＋1＋x)； ③f(x)＝1－x＋x－1；
??x＋x，x＞0
④f(x)＝?2
??x－x，x＜0
2
2
2
.
[解] ①由
x－1
＞0得x＞1或x＜－1， x＋1
即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．
－x－1x＋1x－1
又f(－x)＝lg＝lg＝－lg＝－f(x)
－x＋1x－1x＋1∴f(x)为奇函数． ②f(x)的定义域为R，
f(－x)＝(lnx2＋1－x)＝ln
2
1
x2＋1＋x
＝－ln(x＋1＋x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．
??x－1≥0，
③由?2
??1－x≥0，
2
得x＝±1，
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0， ∴f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
④易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x＋x，
则当x＜0时，－x＞0， 故f(－x)＝x－x＝f(x)；
当x＜0时，f(x)＝x－x，则当x＞0时，－x＜0， 故f(－x)＝x＋x＝f(x)，故原函数是偶函数． [规律方法] 1.判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法 2
2
2
2
(2)图像法 (3)性质法 设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．判断分段函数奇偶性应注意的问题 判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同关系时，才能判断其奇偶性．如本例(2)第④小题． (1)设f(x)＝e＋e，g(x)＝e－e，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是( )
A．|g(x)|是偶函数 C．f(x)|g(x)|是偶函数
－xx－xx－xB．f(x)g(x)是奇函数 D．f(x)＋g(x)是奇函数
D [f(－x)＝e＋e＝f(x)，f(x)为偶函数．
xg(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，g(x)为奇函数．
|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，
所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；
f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，
所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；
f(x)＋g(x)＝2ex，
f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，
且f(－x)＋g(－x)＝2e≠f(x)＋g(x)，
所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D.] (2)判断下列函数的奇偶性 ①f(x)＝ln(e＋x)＋ln(e－x)； 2＋1②f(x)＝x；
2－1
??x－1，x＜0
③f(x)＝?2
?－x＋1，x＞0???e＋x＞0，
[解] ①由?
?e－x＞0，?
2
－xx
.
得－e＜x＜e，
即函数f(x)的定义域为(－e，e)，关于原点对称． 又f(－x)＝ln(e－x)＋ln(e＋x)＝f(x)， 所以函数f(x)是偶函数．
②由2－1≠0得x≠0，即函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 2＋11＋22＋1又f(－x)＝－x＝＝－f(x)， x＝－x2－11－22－1所以函数f(x)是奇函数．
③函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)－1＝x－1＝－f(x)，
2
2
－xxxx
2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教学案文（含解析）北师大版
