第二节函数的单调性与最值
?函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质.
?对于?x1，x2∈D，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0或?若函数fx的值域是开区间，则函数无最值；若函数f?
fx1－fx2
>0.
x1－x2
x的值域是闭区间，则闭区间上的端点值就是最值.
1．函数的单调性 (1)增函数、减函数
增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两定义 个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 图象描述 ??当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 ? (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.
2．函数的最值 前提 条件 结论 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 ①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ?
?
M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 x1，x2的特征： (1)任意性；
(2)有大小，即x1＜x2(x1>x2)； (3)属于同一个单调区间. 对于?x1，x2∈D，
都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]＜0或
fx1－fx2
＜0.
x1－x2
(1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域．
1
(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． 1
(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y＝
x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．
(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N?
M.
[熟记常用结论]
1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： (1)f(x)与a·f(x)在a>0时具有相同的单调性，在a＜0时具有相反的单调性． (2)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．
(3)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)也是增(减)函数；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)是减(增)函数．
2．复合函数的单调性
对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝
f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同
增异减”．
3．开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
1
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )
x(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )
(4)所有的单调函数都有最值．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、选填题
1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A．y＝|x| 1C．y＝ B．y＝3－x D．y＝－x＋4
2
x12
解析：选A y＝3－x在R上递减，y＝在(0，＋∞)上递减，y＝－x＋4在(0，＋∞)
x上递减，故选A.
2
1?1?2．函数f(x)＝－x＋在区间?－2，－?上的最大值是( ) 3?x?3
A. 2C．－2
8B．－
3D．2
1?1?解析：选A ∵函数y＝－x与y＝在x∈?－2，－?上都是减函数，∴函数f(x)＝－x3?x?1?1?13
＋在?－2，－?上是减函数，故f(x)的最大值为f(－2)＝2－＝.
3?x?22
3．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．
解析：由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]． 答案：[－1,1]和[5,7]
4．若函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________． 1
解析：因为函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以2k＋1＜0，即k＜－.
21??答案：?－∞，－? 2??
5．若函数f(x)满足“对任意的x1，x2∈R，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)”，则满足
f(2x－1)＜f(1)的实数x的取值范围为________．
解析：由题意知，函数f(x)在定义域内为减函数， ∵f(2x－1)＜f(1)，∴2x－1>1， 即x>1，∴x的取值范围为(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)
考点一 确定函数的单调性
区间[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一) 确定不含参函数的单调性(区间)
[例1] (1)函数f(x)＝|x－3x＋2|的单调递增区间是( )
2
?3?A.?，＋∞?
?2??3?C．(－∞，1]和?，2?
?2?
?3?B.?1，?和[2，＋∞) ?2?
3??D.?－∞，?和[2，＋∞) 2??
3
(2)函数y＝x＋x－6的单调递增区间为__________，单调递减区间为____________． [解析] (1)y＝|x－3x＋2|
??x－3x＋2，x≤1或x≥2，＝?2
?－x－3x＋，1＜x＜2.?
2
2
2
?3?如图所示，函数的单调递增区间是?1，?和[2，＋∞)．
?2?
(2)令u＝x＋x－6，
则y＝x＋x－6可以看作是由y＝u与u＝x＋x－6复合而成的函数． 令u＝x＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.
易知u＝x＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在[0，＋∞)上是增函数，
∴y＝x＋x－6的单调递减区间为(－∞，－3]，单调递增区间为[2，＋∞)． [答案] (1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3] 考法(二) 确定含参函数的单调性(区间) [例2] 试讨论函数f(x)＝
222
2
2
2
ax(a≠0)在(－1,1)上的单调性． x－1
[解] 法一：(定义法)设－1＜x1＜x2＜1，
f(x)＝a?
?x－1＋1?＝a?1＋1?，
???
?x－1??x－1?
??
1??1?－a?1＋ ?x1－1??x2－1??
则f(x1)－f(x2)＝a?1＋＝
ax2－x1
x1－x2－
. 由于－1＜x1＜x2＜1，
所以x2－x1>0，x1－1＜0，x2－1＜0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递增． 法二：(导数法)f′(x)＝＝
axx－－axx－
x－22
ax－－axa＝－2
x－x－
.
当a>0时，f′(x)＜0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a＜0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
[规律探求]
4
考法(一)中的函数不含有参数．解决此类问题时，首先确定定义域，然后利看个性 用单调性的定义或借助图象求解即可． 考法(二)是在考法(一)的基础上增加了参数，解决此类问题除利用定义外，导数法是一种非常有效的方法．注意分类讨论思想的应用 无论考法(一)还是考法(二)，判断函数单调性常用以下几种方法： (1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论． (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性． 找共性 (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间． (4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)±g(x)增减性质进行判断； ②对于复合函数，先将函数y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断 [过关训练]
?1?21．函数f(x)＝??x－x的单调递增区间为( )
?2?
1??A.?－∞，? 2??
?1?B.?0，?
?2??1?D.?，1? ?2?
2
2
?1?C.?，＋∞? ?2?
解析：选D 令t＝x－x，由x－x≥0，得0≤x≤1，故函数的定义域为[0,1]．因为
g(t)＝??t是减函数，所以f(x)的单调递增区间即t＝x－x2的单调递减区间．利用二次函2
?1???
?1??1?2
数的性质，得t＝x－x的单调递减区间为?，1?，即原函数的单调递增区间为?，1?.故
?2??2?
选D.
2．判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性． 解：设x1，x2是任意两个正数，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝?x1＋?－?x2＋?
xx1
ax??
a??
??
a?
2
?
5
(通用版)2020高考数学一轮复习2.2函数的单调性与最值讲义理
