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第六章 定积分的应用
教学目的
1、理解元素法的基本思想；
2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。
3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。 教学重点：
1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。
2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点：
1、 截面面积为已知的立体体积。 2、引力。
§6
1 定积分的元素法
回忆曲边梯形的面积
设y?f (x)?0 (x?[a b]) 如果说积分
A??af(x)dx
b是以[a b]为底的曲边梯形的面积 则积分上限函数
A(x)??af(t)dt
x就是以[a x]为底的曲边梯形的面积 而微分dA(x)?f (x)dx 表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值A?f (x)dxf (x)dx称为曲边梯形的面积元素
以[a b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式 以 [a b]为积分区间的定积分
A??af(x)dx
b
一般情况下 为求某一量U 先将此量分布在某一区间[a b]上 分布在[a x]上的量用函数U(x)表示 再求这一量的元素dU(x) 设dU(x)?u(x)dx 然后以u(x)dx为被积表达式 以[a b]为积分区间求定积分即得
U??af(x)dxb
用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)
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§6
2 定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积 1．直角坐标情形
设平面图形由上下两条曲线y?f上(x)与y?f下(x)及左右两条直线x?a与x?b所围成 则面积元素为[f上(x)? f下(x)]dx 于是平面图形的面积为 S??a[f上(x)?f下(x)]dx? 类似地由左右两条曲线x?图形的面积为
S??c[?右(y)??左(y)]dy?
例1 计算抛物线y?x、y?x所围成的图形的面积 解 (1)画图
(2)确定在x轴上的投影区间: [0 1] (3)确定上下曲线 (4)计算积分
1 S??0(x?x)dx?[2x2?1x3]10?333222
2
左
b(y)与x?
右
(y)及上下两条直线y?d与y?c所围成设平面
df上(x)?x, f下(x)?x2?
13
例2 计算抛物线y?2x与直线y?x?4所围成的图形的面积
解 (1)画图
(2)确定在y轴上的投影区间: [?2 4] (3)确定左右曲线 (4)计算积分
4S???2(y?4?1y2)dy?[1y2?4y?1y3]4?18226?2?左(y)?1y2, ?右(y)?y?4?
2
2y 例3 求椭圆x2?2?1所围成的图形的面积
ab 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0 a] 因为面积元素为ydx 所以
2S?4?0ydxa
椭圆的参数方程为:
x?a cos t y?b sin t
于是 S?4?0ydx?4??bsintd(acost)
2a0 页脚
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??4ab??sintdt?2ab?02(1?cos2t)dt?2ab???ab?2202?
2．极坐标情形
曲边扇形及曲边扇形的面积元素
由曲线???(?)及射线? ?? ? ??围成的图形称为曲边扇形 曲边扇形的面积元素为 dS?1[?(?)]2d?2?S???1[?(?)]2d?2
曲边扇形的面积为
例4. 计算阿基米德螺线??a? (a >0)上相应于?从0变到2? 的一段弧与极轴所围成的图形的面积
2?2? 解: S??01(a?)2d??1a2[1?3]0?4a2?32332
例5. 计算心形线??a(1?cos? ) (a>0) 所围成的图形的面积
?? 解: S?2?01[a(1?cos?]2d??a2?0(1?2cos??1cos2?)d? 22232 ?a2[3??2sin??1sin2?]?0?a?242
二、体 积
1．旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴 常见的旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球体
旋转体都可以看作是由连续曲线y?f (x)、直线x?a 、a?b 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体
设过区间[a b]点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x) 当平面左右平移dx后 体积的增量近似为V??[f (x)]2dx 于是体积元素为 dV ? ?[f (x)]2dx 旋转体的体积为 V??a?[f(x)]2dxb
例1 连接坐标原点O及点P(h r)的直线、直线x?h 及x 轴围成一个直角三角形 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体 计算这圆锥体的体积 解: 直角三角形斜边的直线方程为y?rxh 所求圆锥体的体积为
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同济第六版《高等数学》教(学)案WORD版-第06章-定积分的应用
