高考数学 玩转压轴题 专题4.2 与球相关的外接与内切问题

专题4.2 与球相关的外接与内切问题

一．方法综述

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体。

与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积来求球的半径。 二．解题策略

类型一 构造法（补形法）

【答案】 9?

【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解。长方体的外接球即为该三棱锥的外接球。

【例2】一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

【答案】A 【解析】

【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可。 【举一反三】

1、如图所示，设A，B，C，D为球O上四点，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝AC＝3，若AD＝R(R为球O的半径)，则球O的表面积为( )

A．π B．2π C．4π D．8π

【答案】D

【解析】因为AB，AC，AD两两垂直，所以以AB，AC，AD为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的各顶点均在球面上，AB＝AC＝3，所以AE＝6，AD＝R，DE＝2R，则有R＋6＝(2R)，解得R＝2，所以球的表面积S＝4πR＝8π.故选D。

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2、如图所示，已知三棱锥A-BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且

AC＝3，BC＝2，CD＝5，则球O的表面积为( )

A．12π B．7π C．9π D．8π 【答案】A

【解析】由AC⊥平面BCD，BC⊥CD知三棱锥A-BCD可以补成以AC，BC，CD为三条棱的长方体，设球O的半径为R，则有(2R)＝AC＋BC＋CD＝3＋4＋5＝12，所以S球＝4πR＝12π.故选A。

3、在三棱锥A-BCD中，AB＝CD＝6，AC＝BD＝AD＝BC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】43π

【解析】依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的

2

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a＋b＝6，??222

长、宽、高分别为a、b、c，且其外接球的半径为R，则?b＋c＝5，

??c2＋a2＝52，

2

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222

得a＋b＋c＝43，即(2R)＝a22222

＋b＋c＝43，易知R即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR＝43π.

类型二 正棱锥与球的外接

【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A．

2

81?27? B．16? C．9? D． 44【答案】A．

【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外接球的球心，构造直角三角形，利用勾股定理求半径。