专题4.2 与球相关的外接与内切问题
一.方法综述
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,解决这类问题的关键是抓住内接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时,可构造长方体或正方体。
与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果外切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时,注意球心到各面的距离相等即球的半径,求球的半径时,可用球心与多面体的各顶点连接,球的半径为分成的小棱锥的高,用体积来求球的半径。 二.解题策略
类型一 构造法(补形法)
【答案】 9?
【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时,可将三棱锥补成一个长方体,将问题转化为长方体(正方体)来解。长方体的外接球即为该三棱锥的外接球。
【例2】一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )
【答案】A 【解析】
【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时,可以构造正方体,在正方体中构造三棱锥或四面体,利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可。 【举一反三】
1、如图所示,设A,B,C,D为球O上四点,AB,AC,AD两两垂直,且AB=AC=3,若AD=R(R为球O的半径),则球O的表面积为( )
A.π B.2π C.4π D.8π
【答案】D
【解析】因为AB,AC,AD两两垂直,所以以AB,AC,AD为棱构建一个长方体,如图所示,则长方体的各顶点均在球面上,AB=AC=3,所以AE=6,AD=R,DE=2R,则有R+6=(2R),解得R=2,所以球的表面积S=4πR=8π.故选D。
2
2
2
2、如图所示,已知三棱锥A-BCD的四个顶点A,B,C,D都在球O的表面上,AC⊥平面BCD,BC⊥CD,且
AC=3,BC=2,CD=5,则球O的表面积为( )
A.12π B.7π C.9π D.8π 【答案】A
【解析】由AC⊥平面BCD,BC⊥CD知三棱锥A-BCD可以补成以AC,BC,CD为三条棱的长方体,设球O的半径为R,则有(2R)=AC+BC+CD=3+4+5=12,所以S球=4πR=12π.故选A。
3、在三棱锥A-BCD中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球的表面积为__________. 【答案】43π
【解析】依题意得,该三棱锥的三组对棱分别相等,因此可将该三棱锥补形成一个长方体,设该长方体的
2
2
2
2
2
a+b=6,??222
长、宽、高分别为a、b、c,且其外接球的半径为R,则?b+c=5,
??c2+a2=52,
2
2
222
得a+b+c=43,即(2R)=a22222
+b+c=43,易知R即为该三棱锥的外接球的半径,所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR=43π.
类型二 正棱锥与球的外接
【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为 ( ) A.
2
81?27? B.16? C.9? D. 44【答案】A.
【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积,应先求其半径,在棱锥的高上取一点作为外接球的球心,构造直角三角形,利用勾股定理求半径。
高考数学 玩转压轴题 专题4.2 与球相关的外接与内切问题
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