第4讲 随机事件的概率与古典概型
一、知识梳理 1．概率与频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件AnA出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
n(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
2．事件的关系与运算
包含关系 相等关系 并事件 (和事件) 交事件 (积事件) 互斥事件 对立事件 3.古典概型 (1)基本事件的特点
①任何两个基本事件是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． (2)特点
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． (3)概率公式
A包含的基本事件的个数P(A)＝．
基本事件的总数4．对古典概型的理解
(1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确判断试验的类型是解决概率问题的关键．
定义 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) 若B?A且A?B，那么称事件A与事件B相等 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) 若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 符号表示 B?A (或A?B) A＝B A∪B (或A＋B) A∩B (或AB) A∩B＝? A∩B＝? 且A∪B＝Ω (2)古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所有的试验都是古典概型． 常用结论
概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率：P(A)＝1. (3)不可能事件的概率：P(A)＝0. (4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)． 二、教材衍化
1．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则 ①恰有1个白球和全是白球； ②至少有1个白球和全是黑球； ③至少有1个白球和至少有2个白球； ④至少有1个白球和至少有1个黑球．
在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为________． 答案：①
2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组 频数 [10，20) 2 [20，30) 3 [30，40) 4 [40，50) 5 [50，60) 4 [60，70) 2 则样本数据落在区间[10，40)的频率为________． 答案：0.45
3．袋中装有6个白球， 5个黄球，4个红球．从中任取一球，则取到白球的概率为________． 62
解析：从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P＝＝.
1552答案：
5
4．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________．
11解析：从5件产品中任取2件共有C25＝10(种)取法，恰有一件次品的取法有C2C3＝6(种)，所以恰有一件次品
6
的概率为＝0.6.
10
答案：0.6
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．( ) (2)随机事件和随机试验是一回事．( )
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )
(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．( ) (5)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.( )
(6)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)× 二、易错纠偏
常见误区| (1)确定互斥事件、对立事件出错； (2)基本事件计数错误．
11
1．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为________．
23115
解析：由题意得，甲不输的概率为＋＝.
2365答案：
6
2．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试－
验中，事件A＋B发生的概率为________．
214221－
解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，所以P(B)＝1－P(B)＝1－＝，
636333－－－112
显然A与B互斥，从而P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
333
2答案：
3
3．已知函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，则该函数有两个零点的概率为________． 解析：要使函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2有两个零点，即方程x2－2ax＋b2＝0有两个实根，则Δ＝4a2－4b2＞0，又a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，即a＞b，而a，b的取法共有3×3＝9(种)，其中满足a＞b的取法有(4，3)，(6，3)，62(6，5)，(8，3)，(8，5)，(8，7)，共6种，所以所求的概率为＝.
93
2答案：
3
考点一 随机事件的频率与概率(基础型)
复习指导| 在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率
与概率的区别．
核心素养：数学抽象、数据分析
某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)
处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：
X Y 1 51 2 48 3 45 4 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米． (1)完成下表，并求所种作物的平均年均收获量；
Y 频数 51 48 4 45 42 (2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．
【解】 (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：
Y 频数 所种作物的平均年收获量为
51 2 48 4 45 6 42 3 51×2＋48×4＋45×6＋42×3690
＝＝46.
1515
24
(2)由(1)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝.
1515
故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为 242
P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.
15155
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的
降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.
(1)完成频率分布表；
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量 频率 70 1 20110 140 1 5160 200 220 1 10(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率．
解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量 频率 X
(2)由已知可得Y＝＋425，
2
故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”) ＝P(Y＜490或Y＞530)＝P(X＜130或X＞210) ＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220) ＝
13233＋＋＝.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为. 2020201010
70 1 20110 3 20140 1 5160 7 20200 3 20220 1 10考点二 互斥事件、对立事件的概率(基础型)
复习指导| 通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式． 核心素养：数学建模
某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1
个，一等奖10个，二等奖50个．记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)1张奖券的中奖概率；
(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
【解】 (1)设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，依题意，P(A)＝＝
501
＝，因为A，B，C两两互斥， 1 00020
1＋10＋5061
所以P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝，
1 0001 000
1101
，P(B)＝＝，P(C)1 0001 000100
第10章 第4讲 随机事件的概率与古典概型 - 图文
