第七章 线性变换
1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1) 在线性空
V 中， A
,其中 V 是一固定的向量
2)
间在线性空 V 中， A
其中
间
V 是一固定的向量；
3) 在
P3 中，
A(x1,x2,x3) (x12
,x2
x3,x32 ) ；
4) 在
P
3
中， A
(x1,x2,x3)
(2x1
x2,x2 x3,x1)；
5)
在 P[ x]
1) ；
中，
A f (x) f(x
6) 在 P[ x]),中，
A
f (x) f(x 0 其中 x0 P 是一固定的数； 7) 把复数域上看作复数域
A。 8) 解 2)当 上的线性空间， n n n 在n 是两个固定的矩阵 .
Pn n中， AX=BXC 其中 3)不是 .例如当
1) 0当 0时,是;当 0 时,不是。 时,是;当 0 时,不是。
(1,0,0),k 2时,kA( ) (2,0,0), A(k ) (4,0,0) ,
A (k ) kA( ) 。 4)是.因取
(x1,x2 ,x3), (y1,y2, y3),有 A(
)= A (x1 y1,x2
y2 ,x3 y3)
=(2x1 2y1 x2 y2 ,x2 y2 x3 y3,x1 y1) x3,x1) (2y1 =(2x1 x2,x2
y2,y2 y3, y1)
= A + A ， A (k ) A
(kx1,kx2,kx3) kx2 ,kx2
(2kx1
kx2 ,kx2 kx3,kx1) (2kx1 )，
kx3,kx1) = k A ( 故A是 P3上的线
性变换。 5) 是.因任取 f (x) P[x],
g(x) u(x) f (x) g(x)则 A(f(x) P[x],并令 g(x))= Au(x) =u(x 再令 v(x) kf(x)
则 A(kf(x)) 故 A 为 P[x] 上的线1) = f (x 1)
g(x 1)=A f(x)+ A(g(x)) ， v(x 1) 性变换。 6)是.因任取 f (x) P[x],
A (v(x))
kf(x 1) kA(f(x)) ，
g(x)
P[x] 则.
A(f(x)
g(x))= f(x0) g(x0 ) A(f(x))
A (g(x) ) ，
A (kf (x)) kf (x0 ) k A (f (x)) 。
7)不是，例如取 a=1,k=I ，则 A(ka)=-i , k( Aa)=i, A(ka) kA(a)。
8)是，因任取二矩阵 X,Y Pnn，则 A(X Y) B(X Y)C BXC BYC AX+AY， A(kX )=B(kX) k(BXC) kAX，故 A是Pn n上的线性变换。
nB,C P
2.在几何空间中 ,取直角坐标系 oxy,以 A 表示将空间绕 ox轴由 oy向 oz方向旋转 90 度的变
换 , 以 B 表示绕 oy 轴向 ox 方向旋转 90 度的变换 , 以 C 表示绕 oz 轴由 ox 向 oy 方向旋转
90 度的 变换，证明： A4 =B4=C 4 =E,AB BA,A 2B2=B 2 A 2 ，并检验(AB) 2 =A 2 B 2是否成立。 解
任取一向量 a=(x,y,z) ，则有
1) 因为
Aa=(x,-z,y), A a=(x,-y,-z) ，A a=(x,z,-y), A a=(x,y,z) ， Ba=(z,y,-x), B a=(-x,y,-z) ，B a=(-z,y,x), B a=(x,y,z) ， Ca=(-y,x,z), C a=(-x,-y,z) ，C a=(y,-x,z), C a=(x,y,z) ，
2
3
4
2
3
4
2 3 4
所以 A 4 =B 4 =C 4 =E
。
2) 因为 AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y) ，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x) ， 所以 AB BA。
3) 因为 A B (a)=A 2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z) ，B 2 A 2 (a)=B 2 (x,-y,-z)=(-x,-y,z) ，
2 2 2 2 2 2 22
所以 A2B2=B 2A2。
2 2 2
3) 因为(AB) 2 (a)=(AB )(AB (a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x) ，A 2 B 2 (a)=(-x,-y,z) ，
所以(AB)2 A 2B2。
3.在 P[x] 中，A f(x) f'(x),B f(x) xf (x) ，证明:AB-BA=E 。
证 任取 f(x) P[x] ， 则有
(AB-BA ) f(x)=AB f(x)-BA f(x)=A(xf(x))-B( f'(x))= f(x) xf;(x)-xf '(x)= f(x) 所以 AB-BA=E 。 4. 设 A,B 是线性变换，如果 AB-BA=E ，证明： A k B-BA k = kA k 1 (k>1) 。
证 采用数学归纳法。当 k=2 时
2 2 2 2
A2 B-BA 2=(A 2 B-ABA)+(ABA-BA 2 )=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA= 2a，结论成立。
归纳假设 k m时结论成立，即 A m B-BA m=mAm1。则当 k m 1时，有
Am 1B-BA m 1=(A m 1B-A m BA)+(A m BA-BA m 1)=A m (AB-BA)+(A mB-BA m)A=A mE+mA m 1A= (m 1)A
m
。
即 k m 1 时结论成立 .故对一切 k 1 结论成立。
5. 证明：可逆变换是双射。
证 设 A 是可逆变换，它的逆变换为 A 1 。
若 a b ，则必有 Aa Ab ，不然设 Aa=Ab ，两边左乘 A 1 ，有 a=b，这与条件矛盾。 其次，对任一向量 b，必有 a 使 A a=b，事实上 ,令 A 1b=a 即可。因此 ,A 是一个双射。
6. 设 1, 2, , n是线性空间 V 的一组基， A是V上的线性变换。 证明： A是可逆变换当且
2 , ,A n
仅当
A
1,A
线性无关。
证 因 A( 1, 2, , n)=(A 1,A 2, ,A n)=( 1, 2, , n )A，
故 A 可逆的充要条件是矩阵 A 可逆，而矩阵 A 可逆的充要条件是 A 1,A 2 , ,A n线性无 关，故 A可逆的充要条件是 A 1,A 2, ,A n线性无关 .。
7.
求下列线性变换在所指定基下的矩阵 :
1) 第 1 题 4)中变换 A 在基 1=(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1) 下的矩阵；
2) [o; 1, 2 ]是平面上一直角坐标系 ,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂
直投影 ,B 是平面上的向量对 2 的垂直投影，求 A,B,AB 在基 1, 2 下的矩阵；
3) 在空间 P[x] n中，设变换 A为 f(x) f (x 1) f (x)，
1 i!
试求
A 在基
i =
x(x 1) (x i 1) (I=1,2, ,n-1)下的矩阵 A；
4) 六个函数 1=eax cos bx , 2=eax sin bx ， 3=x eax cosbx , 4=xeaxsinbx，
1= 1
1
x2 e ax cosbx , 1= eax x2 sinbx ，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空
1
2 1 2 间，求微分变换 D 在基 i (i=1,2, ,6) 下的矩阵；
1 0 1
5) 已知 P 3中线性变换 A 在基 1 =(-1,1,1), 2 =(1,0,-1), 3 =(0,1,1)下的矩阵是 1 1 0 ， 121
求 A 在基 1=(1,0,0), 2 =(0,1,0), 3 =(0,0,1)下的矩阵；
6) 在 P3中，A 定义如下：
(完整版)高等代数(北大版)第7章习题参考答案
