在Rt△AOB和RtVAON中，可分别求得AB和AN的长，可求得OM的长度，从而可得到OM和AN的数量关系． 试题解析：（1）当y?0时，0??123 解得：x?x?4，整理得：x2?6x?16?0，42x1??2，x2?8．
∴B??2,0?，C?8，0?．
令x?0得：y?4， ∴A?0，4?．
∴OA?4，OB?2，OC?8， ∴OA2?OB?CO．
（2）设点N?n，0???2?n?8?， 则BN?n?2，CN?8?n． ∵MN∥AC，
?AMCN8?nAB?CB?10, ∵OA?4，
S1VABN?2BN?OA?12??n?2??4?2n?4． SVAMNAM8?nS??. VABNAB10?S8?n10S8?nVAMN?10???15?8?n??n?2???12VABN?2n?45?n?3??5, ∴当n?3时，即N?3，0?，VAMN的面积最大．
设直线AN的表达式为y?kx?b． 4将点A和N的坐标代入得：??b?4??3k?b?0, 解得??k???3．
?b?4∴直线AN的表达式为y??43x?4． （3）QN?3，0?， ?ON?3． ?CN?8?3?5． QBC?10， 21
∴N为线段BC的中点． ∵MN∥AC， ∴M为AB的中点，
∴AB?OA2?OB2?42?22?25． ∵?AOB?90?， ∴OM?1 AB?5．2∵AN?OA2?ON2?42?32?5．
即OM与AN的数量关系是OM2?AN． ?OM2?AN．20．如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在CB,CD上滑动,当CM为何值时,△AED与△CMN相似?
【答案】当CM为【解析】 【分析】
255时,△AED与△CMN相似. 或55根据AE=EB，△AED中AD=2AE，所以在△MNC中，分CM与AE和AD是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可． 【详解】
∵AE=EB,∴AD=2AE.
又∵△AED与以M,N,C为顶点的三角形相似,
∴分两种情况:
①CM与AD是对应边时,CM=2CN, ∴CM2+CN2=MN2=1,即CM2+②CM与AE是对应边时,CM=
125CM2=1,解得CM=; 451CN,∴CM2+CN2=MN2=1,即CM2+4CM2=1,解得CM=2 22
5. 5综上所述,当CM为【点睛】
本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定；主要利用相似三角形对应边成比例的性质和直角三角形勾股定理求解．
21．如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45o，再沿AC方向前进73.2m到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60o，山坡BE的坡度i?1:3，求塔高．（精确到0.1m，3?1.732）
255时,△AED与△CMN相似. 或55
【答案】塔高约为115.5 m 【解析】 【分析】
设CE=x，根据坡度的定义即可表示出BC的长，在Rt△BCE中根据方向角的定义表示出DE的长，然后在直角△ACD中，利用x表示出AC的长，根据AB=AC-BC即可列方程求解． 【详解】
由题意知,∠BAD=45°,∠CBD=60°，DC⊥AC， ∴∠ACD=90°，
∵i=1: 3,即tan∠EBC=1: ∴∠EBC=30°.
∴∠DBE=60°?30°=30°. ∴∠DBE=∠BDC. ∴BE=DE.
设CE=x,则BC=3x. 在Rt△BCE中，
3，
23
∵∠EBC=30°， ∴BE=2x. ∴DE=2x.
在Rt△ACD中,∠ADC=90°?45°=45°. ∴∠A=∠ADC. ∴AC=CD. ∴73.2+3x=3x. ∴x=73.2. 3?3∴DE=2x≈115.5. 答：塔高约为115.5 m. 【点睛】
本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 22．如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与
CD的延长线交于点A，OEPBD，交BC于点F，交AE于点E．
（1）求证：VBEF∽VDCB．
（2）若⊙O的半径为3，?C?30?，求BE的长．
【答案】（1）见解析 （2）3【解析】
3．
（1）连接OB．由切线的性质先证明∠OBE=∠EFB+∠CBO=90°，再由圆周角定理得出∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°，故∠EBF=∠OBD，根据等腰三角形的性质可知∠OBD=∠CDB，故∠EBF=∠CDB，进而可得结论；
（2）由（1）可知V，∠E=∠C，在Rt△BOE中，利BEF∽VDCB，所以∠OBE=90°用锐角三角函数的定义即可得出结论．
证明：（1）∵OEPBD，∴?1??2，?3??4（两直线平行，内错角相等，同位角
24
相等）． 连接BD，
∵过点B的切线AE与CD的延长线交于点A， ∴OB⊥AE，
∴∠OBE=∠EFB+∠CBO=90°，
QCD为⊙O的直径，
∴∠CBD=∠CBO+∠OBD=90°， ∴∠EBF=∠OBD， ∵OB、OD是⊙O的半径， ∴OB=OD， ∴∠OBD=∠CDB， ∴∠EBF=∠CDB， ∵OEPBD， ∴∠EFB=∠CBD， ∴VBEF∽VDCB．
（2）由1）可知VBEF∽VDCB， ∴∠OBE=90°， ∴∠E=∠C， ∵∠C=30°， ∴∠E=∠C=30°， ∵⊙O的半径为3，
在Rt△BOE中，∠OBE=90°，∠E =30°，OB=3， ∴tanE?OB03BE，即tan30?BE， ∴BE的长为33．
23．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣（1）求该二次函数的解析式．
4）且经过点B（3，0）．25
2020年上海市中考数学模拟试题及答案(解析版) (8)
