【分析】
延长BA，到格点D，连接CD，由网格特征可知∠CDB=90°，再根据正切函数的定义即可求值. 【详解】
如图，延长BA，到格点D，连接CD，由网格特征可知∠CDB=90°，
CD=12?12=2，BD=22?22=22 ∴tan?ABC?CD21?? BD222故答案为：【点睛】
1. 2本题考查求正切值，根据网格特点构造直角三角形是解题的关键.
13．两个相似三角形周长的差是4cm，面积的比是16:25，那么这两个三角形的周长分别是__________cm和____________cm 【答案】 16 20
【解析】试题解析：∵两个相似三角形面积的比是16:25， ∴两个相似三角形周长比为4:5.
由题意，可设较小三角形的周长为4xcm，则较大三角形的周长为5xcm， 则有：5x-x=4，解得x=4，
∴这两个三角形的周长分别是16cm和20cm. 故答案为：16，20. 点睛：相似三角形性质：
（1）相似三角形周长的比等于相似比． （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 14．如图，在△ABC中，∠BAC=75°，以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转，得△AB'C'，连接BB'，若BB'∥AC'，则∠BAC′ 的度数是______________.
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【答案】105°【解析】 【分析】
根据旋转的性质得AB′=AB，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得
∠AB′B=∠ABB′，然后根据平行线的性质得到∠AB′B=∠C′AB′=75°，于是得到结论． 【详解】
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′， ∴AB′=AB，∠B′AB=∠C′AC，∠C′AB′=∠CAB=75°， ∴△AB′B是等腰三角形， ∴∠AB′B=∠ABB′ ∵BB'∥AC，
∴∠A B′B=∠C′AB′=75°，
∴∠C′AC=∠B′A B =180°-2×75°=30°， ∴∠BAC′=∠C′AC+∠BA C =30°+75°=105°， 故答案为：105°． 【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．
15．如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设DA=a，DC=b那么向量DF用向量a、b表示为_____．
uuurruuurruuurrr
【答案】a?2b 【解析】
【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF，
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rr故AF=2AB=2DC，结合三角形法则进行解答． 【详解】如图，连接BD，FC，
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC=AB， ∴△DCE∽△FBE， 又E是边BC的中点， ∴
DEEC1??， EFBC1∴EC=BE，即点E是DF的中点， ∴四边形DBFC是平行四边形， ∴DC=BF，故AF=2AB=2DC，
v∴DF?DA?AF?DA?2DC?a?2b，
故答案是：a?2b.
uuuvuuuvuuuvuuuvrruuuvv
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，向量运算等，熟练掌握相关判定与性质定理是解题的关键.
16．在一空旷场地上设计一落地为矩形
长的绳子一端固定在的区域面积为(1)如图，若
. ，则
．
为边拓展一正的变化过程中,当
区域,使取得最
的小屋，
．拴住小狗的
点处，小狗在不能进人小屋内的条件下活动，其可以活动
(2)如图,现考虑在(1)中的矩形之变成落地为五边
小屋的右侧以
的小屋,其它条件不变.则在
小值时，边长的长为 ．
【答案】【解析】
.
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试题分析：（1）在B点处是以点B为圆心，10为半径的4为半径的
个圆；在C处是以C为圆心，6为半径的
个圆；在A处是以A为圆心，个圆；所以S=
；（2）设BC=x,则AB=10-x，
=
即BC=
.
（-10x+250），当x=
时，S最小，
17．已知C，D分别是线段AB上的两个黄金分割点，且AB=4，则CD=_________. 【答案】45-8 【解析】 【分析】 根据黄金比值是案． 【详解】
∵C、D是AB上的两个黄金分割点，∴AD＝BC?∴CD＝AD+BC﹣AB＝45?8．
故答案为：45?8． 【点睛】
本题考查了黄金分割的概念，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．
18．在比例尺为1：1000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是15cm，则两地的实际距离________km． 【答案】150 【解析】 【分析】
设两地的实际距离为xcm，根据比例尺的定义得到15：x=1：1000 000，然后根据比例的性质计算出x，再把单位由cm化为km即可． 【详解】
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5?1，求出AD、BC的长，根据CD＝AD+BC﹣AB代入计算得到答25?15?1AB＝4??25?2，
22设两地的实际距离为xcm， 根据题意得15：x=1：1000 000， 所以x=15000000cm=150km． 故答案为150． 【点睛】
本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．也考查了比例尺．
评卷人 得分 三、解答题（共6小题，满分42分，每题7分）
19．综合与实践： 如图，二次函数y=﹣
123x+x+4的图象与x轴交于点B，点C（点B在点C的左边），42与y轴交于点A，连接AC，AB． （1）求证：AO2=BO?CO；
（2）若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作MN∥AC，交AB于点M，求当△AMN的面积取得最大值时，直线AN的表达式．
（3）连接OM，在（2）的结论下，试判断OM与AN的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析； （2）y=﹣【解析】
4x+4；（3）OM2=AN． 3试题分析：（1）由分别令x?0,y?0求得A,B,C的坐标，即可证明.
0???2?n?8?，（2）设点N?n，则BN?n?2，CN?8?n．由NM∥AC，可求得
AMCN8?n??, 可用n表示出VABN的面积，则可用n表示出VAMN的面积，ABCB10再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标；进而用待定
系数法求得直线AN的表达式.
（3）由N点坐标可求得M点为AB的中点，由直角三角形的性质可得OM?1AB， 220
2020年上海市中考数学模拟试题及答案(解析版) (8)
