16. 已知:
求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。 解：
有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况： 三种收敛域对应三种不同的原序列。 （1）当收敛域z?0.5时， 令F(z)?X(z)zn?15?7z?15z?7n?1n?z?z (1?0.5z?1)(1?2z?1)(z?0.5)(z?2)n?0，因为c内无极点，x(n)=0；
n??1，C内有极点0，但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极点有
z1?0.5,z2?2，那么
（2）当收敛域0.5?z?2时，
n?0，C内有极点0.5；
n?0，C内有极点0.5，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只
有一个，即2，
最后得到x(n)?3g()nu(n)?2g2nu(?n?1) （3）当收敛域2?z时，
n?0，C内有极点0.5，2；
12n<0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x(n)=0。
或者这样分析，C内有极点0.5，2，0，但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，所以x(n)=0。 最后得到
17. 已知x(n)?anu(n),0?a?1，分别求： （1）x(n)的Z变换； （2）nx(n)的Z变换； （3）a?nu(?n)的z变换。 解：
（1）X(z)?ZT[au(n)]?nn?????anu(n)z?n?1,z?a 1?az?1daz?1,z?a （2）ZT[nx(n)]??zX(z)??12dz(1?az)（3）ZT[au(?n)]??az??anzn??n?n?nn?0n?0???1,z?a?1 1?az?3z?118. 已知X(z)?，分别求： ?1?22?5z?2z（1）收敛域0.5?z?2对应的原序列x(n)； （2）收敛域z?2对应的原序列x(n)。 解：
（1）当收敛域0.5?z?2时，n?0，c内有极点0.5，
x(n)?Res[F(z),0.5]?0.5n?2?n,n?0,
c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,
x(n)??Res[F(z),2]?2n,
最后得到
（2（当收敛域z?2时，
n?0,cn?0,c
内有极点0.5,2,
内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没
有极点,因此x(n)?0, 最后得到
25. 已知网络的输入和单位脉冲响应分别为
x(n)?anu(n),h(n)?bnu(n),0?a?1,0?b?1，
试：
（1）用卷积法求网络输出y(n)； （2）用ZT法求网络输出y(n)。 解：
（1）用卷积法求y(n)
y(n)?h(n)?x(n)?m????bn?mu(m)an?mu(n?m)，n?0,
y(n)??am?0nn?mm1?a?n?1bn?1an?1?bn?1b?a?ab?a?，n?0，y(n)?0 ?11?aba?bm?0nn?mm最后得到
（2）用ZT法求y(n) 令F(z)?Y(z)zn?1zn?1zn?1 ???1?1?1?az??1?bz?(z?a)(z?b)n?0,c内有极点a,b
因为系统是因果系统，n?0,y(n)?0，最后得到
28. 若序列h(n)是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式： 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。 解：
求上式IZT，得到序列h(n)的共轭对称序列he(n)。
因为h(n)是因果序列，he(n)必定是双边序列，收敛域取：a?z?a?1。
n?1时，c内有极点a,
n=0时，c内有极点a,0，
所以 又因为 所以
3.2 教材第三章习题解答
1. 计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间0?n?N?1内,序列定义为 （2）x(n)??(n)；
（4）x(n)?Rm(n),0?m?N； （6）x(n)?cos(2?nm),0?m?N； N（8）x(n)?sin(w0n)?RN(n)； （10）x(n)?nRN(n)。 解：
（2）X(k)???(n)W???(n)?1,k?0,1,?,N?1
knNn?0n?0N?1N?1（4）X(k)??WNknn?0N?1km?jk(m?1)1?WN??eNk1?WN?sin(?Nmk),k?0,1,?,N?1 m)2?2?sin(2??NN?1?jmn?jkn1jmn?2??kn（6）X(k)??cos?mn??WN??(eN?eN)eN
?N?n?0n?02N?1（8）解法1 直接计算
解法2 由DFT的共轭对称性求解 因为
所以 即
????1?1?ejw0N1?ejw0N1?1?ejw0N1?ejw0N?????()??()结果与解2?2?2?2?j(w0?k)j(w0?(N?k)j(w0?k)j(w0?k)?2j??2j?NNNN1?e1?e?1?e??1?e?法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。 （10）解法1
上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为 x(n)?nRN(n)
所以 x(n)?x((n?1))N?RN(n)?N?(n)?RN(n) 等式两边进行DFT得到 故 X(k)?N[?(k)?1],k?1,2?,N?1 k1?WN当k?0时，可直接计算得出X（0） 这样，X（k）可写成如下形式：
解法2
k?0时， k?0时，
所以， 即
2. 已知下列X(k)，求x(n)?IDFT[X(k)];
?Nj??2e,k?m?N?j?（1）X(k)???e,k?N?m;
?2?0,其它k??
《数字信号处理》第三版课后习题答案
