教材第二章习题解答
1. 设X(ejw)和Y(ejw)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换： （1）x(n?n0)； （2）x(?n)； （3）x(n)y(n)； （4）x(2n)。 解：
（1）FT[x(n?n0)]?n????x(n?n)e0??jwn
令n'?n?n0,n?n'?n0，则 （2）FT[x(n)]?*n???????jwnx(n)e*?[?x(n)ejwn]*?X*(e?jw)
n????jwn?（3）FT[x(?n)]?令n'??n，则
n????x(?n)e
（4） FT[x(n)*y(n)]?X(ejw)Y(ejw) 证明： x(n)*y(n)?令k=n-m，则 2. 已知X(ejw)????1,w?w0
??0,w0?w??m????x(m)y(n?m)
?求X(ejw)的傅里叶反变换x(n)。 解： x(n)?12??w0?w0ejwndw?sinw0n ?n3. 线性时不变系统的频率响应(传输函数)H(ejw)?H(ejw)ej?(w),如果单位脉冲响应h(n)为实序列，试证明输入x(n)?Acos(w0n??)的稳态响应为
y(n)?AH(ejw)cos[w0n????(w0)]。
解：
假设输入信号x(n)?ejwn，系统单位脉冲相应为h(n)，系统输出为
0y(n)?h(n)*x(n)?m????h(m)e?jw0(n?m)?ejw0nm????h(m)e?jw0n?jw0m?H(ejw0)e上式说明，当输
入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。
上式中H(ejw)是w的偶函数，相位函数是w的奇函数，
?1,n?0,1%%4. 设x(n)??将x(n)以4为周期进行周期延拓，形成周期序列x画出x(n)和x(n)，(n)0,其它?%的波形，求出x(n)的离散傅里叶级数°X(k)和傅里叶变换。
解：
%画出x(n)和x(n)的波形如题4解图所示。
?j%%%X(k)?DFS[x(n)]??x(n)en?0?jk432?kn4??en?01?jkn2??1?e?jk2?? ?e%X(k)以4为周期，或者
(ejk4??e?jk4?)?2cos(k)?e4??jk4?,
?jkn1?ee(e?e)%X(k)??e2???e?111?jk?j?kj?k?j?kn?01?e2e4(e4?e4)1??j?k1?j?k21j?k21?j?k21?j?k41sin?k2, 1sin?k4%X(k)以4为周期
5. 设如图所示的序列x(n)的FT用X(ejw)表示，不直接求出X(ejw)，完成下列运算： （1）X(ej0)； （2）?X(ejw)dw；
???
（5）?X(ejw)dw
???2解：
（1）X(e)??x(n)?6
j0n??37（2）?X(ejw)dw?x(0)?2??4?
???（5）?X(e)dw?2??x(n)2?28?
jw??n??3?276. 试求如下序列的傅里叶变换: （2）x2(n)??(n?1)??(n)??(n?1)； （3）x3(n)?anu(n),0?a?1 解： （2）
（3） X3(e)?jw1212n????au(n)en??jwn??ane?jwn?n?0?1 ?jw1?ae7. 设:
（1）x(n)是实偶函数，
（2）x(n)是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，x(n)的傅里叶变换性质。 解： 令 X(e)?jwn????x(n)e??jwn
jw（1）x(n)是实、偶函数，X(e)?两边取共轭，得到 因此X(ejw)?X*(e?jw)
n????x(n)e??jwn
上式说明x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质。
由于x(n)是偶函数，x(n)sinwn是奇函数，那么 因此X(e)?jwn????x(n)coswn
?该式说明X(ejw)是实函数，且是w的偶函数。
总结以上x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换X(ejw)是实、偶函数。 （2）x(n)是实、奇函数。
上面已推出，由于x(n)是实序列，X(ejw)具有共轭对称性质，即 由于x(n)是奇函数，上式中x(n)coswn是奇函数，那么?x(n)coswn?0
n????因此X(e)?j?x(n)sinwn
jwn????这说明X(ejw)是纯虚数，且是w的奇函数。
10. 若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式: HR(ejw)?1?cosw 求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。 解：
12. 设系统的单位取样响应h(n)?anu(n),0?a?1，输入序列为x(n)??(n)?2?(n?2)，完成下面各题：
（1）求出系统输出序列y(n)；
（2）分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解： （1） （2）
13. 已知xa(t)?2cos(2?f0t)，式中f0?100Hz，以采样频率fs?400Hz对xa(t)进行采样，得
%到采样信号xa(t)和时域离散信号x(n)，试完成下面各题：
（1）写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j?)；
%（2）写出xa(t)和x(n)的表达式；
%（3）分别求出xa(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。
解： （1）
上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数?函数，它的傅里叶变换可以 表示成：
?a(t)?（2） xn????x(t)?(t?nT)??2cos(?nT)?(t?nT)
a0n?????（3）
式中?s?2?fs?800?rad/s 式中w0??0T?0.5?rad
上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。 14. 求以下序列的Z变换及收敛域： （2）?2?nu(?n?1)； （3）2?nu(?n)； （6）2?n[u(n)?u(n?10)] 解：
（2） ZT[2u(n)]??nn?????2u(n)z?n?n??2?nz?n?n?0?11,z?
1?2?1z?12（3） （6）
《数字信号处理》第三版课后习题答案
