第１８讲 平面向量与解析几何
在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。
一、知识整合
平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。
二、例题解析
x2y2??1的焦点为F1,F2，点P为其上的动点，当∠F1P 例1、（2000年全国高考题）椭圆94F2为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。
解：F1（－5,0）F2（5,0）,设P（3cos?,2sin?）
??F1PF2为钝角
∴ PF（?5?3cos?,?2sin?)?(5?3cos?,?2sin?) 1?PF2? =9cos
解得：?2
?－5＋4sin2?=5 cos2?－1<0
553535?cos??, ∴点P横坐标的取值范围是（?） 5555点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为
向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。
例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P是圆(x-3)+(y-4)=4上的一动点，求PA?PB的最
2
2
22大值和最小值。
分析：因为O为AB的中点，所以PA?PB?2PO,故可利用向量把问题转化为求向量OP的最值。 解：设已知圆的圆心为C，由已知可得：OA?{?1,0},OB?{1,0}
?OA?OB?0,OA?OB??1又由中点公式得PA?PB?2PO
所以PA?PB?(PA?PB)?2PA?PB =(2PO)?2(OA?OP)?(OB?OP)
=4PO?2OA?OB?2OP?2OP?(OA?OB) =2OP?2
又因为OC?{3,4} 点P在圆(x-3)+(y-4)=4上, A o B x 2
2
2222y P C 222所以OC?5,CP?2, 且OP?OC?CP 所以OC?CP?OP?OC?CP?OC?CP
即3?OP?7 故20?PA?PB?2OP?2?100 所以PA?PB的最大值为100，最小值为20。
点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。
例3、（2003年天津高考题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP?OA??(22222AB|AB|?AC|AC|＋??，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ） )，???0，（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 分析：因为
ABAC、分别是与AB、AC同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知|AB||AC|ABAC是与∠ABC的角平分线（射线）同向的一个向量，又?|AB||AC|OP?OA?AP??(ABAB?ACAC)，知P点的轨迹是∠ABC的角平分线，从而点P的轨迹一定通过
△ABC的内心。
反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；
（1） 由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量v1、v2； （2） 求出角平分线的方向向量v?v1v1?v2v2
（3） 由点斜式或点向式得出角平分线方程。{直线的点向式方程：过P（x0,y0），其方向
向量为v(a,b)，其方程为
x?x0y?y0} ?abi?(1,0)，经过原点O以c??i为方向例4、（2003年天津）已知常数a?0，向量c?(0,a)，向量的直线与经过定点A(0,a)以i?2?c为方向向量的直线相交于点P，其中??R．试问：是否存在两个定点E、F，使得PE?PF为定值，若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由． （本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定
曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.）
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到
两定点距离的和为定值.
i?(1,0)， ∴c??i=（λ，a）∵c?(0,a)，，i?2?c=（1，－2λa）.
因此，直线OP和AP的方程分别为 ?y?ax 和 y?a??2?ax. 消去参数λ，得点P(x,y)的坐标满足方程y(y?a)??2a2x2.
a(y?)2整理得 x2?1.……① 因为a?1a()2822?0,所以得：
（i）当a?2时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F； 2 （ii）当0?a?2时，方程①表示椭圆，焦点E(11?a2,a)和F(?11?a2,a)为合乎题意
2222222的两个定点； （iii）当a?2时，方程①也表示椭圆，焦点E(0,1(a?a2?1))和F(0,1(a?a2?1))为合
22222乎题意的两个定点.
点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。去掉平面向量的背景，我们不难看到，本题即为下题：在△OAP中，O（0，0）、A（0，a）为两个定点，另两边OP与AP的斜率分别是
a?(??0),?2?a，
求P的轨迹。
而课本上有一道习题（数学第二册（上）第96页练习题4）： 三角形ABC的两个顶点A、B的坐标分别是（-6，0）、（6，0），边AC、BC所在直线的斜率之积等于?4，求顶点C的轨迹方程。通过本例可见高考题目与课本的密切关系。 9例5．（2004年天津卷理22）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c，0）
（c?0）的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若OP?OQ?0，求直线PQ的方程；
（3）设AP??AQ（??1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明
FM???FQ.
分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.
（1）解：由题意，可设椭圆的方程为x2y2a2?2?1(a?2). ?a2?c2?2, 由已知得??解得a?6,c??c?2(a2c?c).2 ?所以椭圆的方程为x2y26?62?1，离心率e?3.
（2）解：由（1）可得A（3，0）.
设直线PQ的方程为y?k(x?3).由方程组
??x2??y2?1, 得(3k2?1)x2?18k22?62x?27k?6?0 ?y?k(x?3)依题意??12(2?3k2)?0，得?63?k?63. 设P(xQ(x18k227k2?61,y1),2,y2)，则x1?x2?3k2?1， ① x1x2?3k2?1. 由直线PQ的方程得y1?k(x1?3),y2?k(x2?3).于是
y21y2?k(x1?3)(x2?3)?k2[x1x2?3(x1?x2)?9]. ③
∵OP?OQ?0，∴x1x2?y1y2?0. ④
由①②③④得5k2?1，从而k??5?(?6,6533). ②
所以直线PQ的方程为x?5y?3?0或x?5y?3?0
（2）证明：AP?(x1?3,y1),AQ?(x2?3,y2).由已知得方程组
?x1?3??(x2?3),?y??y,2?1?x12y125??1 注意，解得 x???1???1,22?2?6?x2y2?2?2?1.2?6因F(2,0),M(x1,?y1)，故
1????1,?y1)???(,y2). FM?(x1?2,?y1)?(?(x2?3)?1,?y1)?(22???1而FQ?(x2?2,y2)?(,y2)，所以FM???FQ.
2?三、总结提炼
由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。
高考数学专题复习第二轮第18讲 平面向量与解析几何
