小学奥数数论专题--因数与倍数（六年级）竞赛测试
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题型 得分 评卷人
得分
一、xx题
（每空xx 分，共xx分）
选择题 填空题 简答题 xx题 xx题 xx题 总分 【题文】数360的约数有多少个?这些约数的和是多少? 【答案】24，1170 【解析】
360分解质因数；360＝2×2×2×3×3×5＝23×32×5；
360的约数可以且只能是2a×3b×5c，(其中a，b，c均是整数，且a为0～3，b为0～2，c为0～1) ． 因为a、b、c的取值是相互独立的，由计数问题的乘法原理知，约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)＝24． 我们先只改动关于质因数3的约数，可以是1，3，32，它们的和为(1+3+32)；所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；
我们再来确定关于质因数2的约数，可以是1，2，22，23，它们的和为(1+2+22+23)；所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；
最后确定关于质因数5的约数，可以是1，5，它们的和为(1+5)；所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．
现在，我们计算出值了：13×15×6＝1170． 所以，360所有约数的和为1170．
评注：我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法．下面我们给出一般结论：
Ⅰ．一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积．如：1400严格分解质因数后为23×52×7，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)＝4×3×2＝24个．(包括1和它自身)
Ⅱ．约数的和是在严格分解质因数后，将M的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000＝23×3×53×7，所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)＝74880． 【题文】一个数是5个2，3个3，6个5，1个7的连乘积．这个数有许多约数是两位数，那么在这些两位数的约数中，最大的是多少? 【答案】96 【解析】
设这个数为A，有A＝25×33×56×7，我们可以一一列出它所有的两位数的约数，有25×3＝96为其最大的两位数约数．
【题文】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数． 【答案】361，400，441，484，529，576，625 【解析】
一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积．如：1400严格分解质因数后为23×52×7，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)＝4×3×2＝24个．(包括1和它自身)
如果某个自然数有奇数个约数，那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个，这样它们加1后均是奇数，所得的乘积还能是奇数．而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数．即完全平方数(除0外)有奇数个约数，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数． 由以上分析知，我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数？
18×18＝324，19×19＝361，25×25＝625，26×26＝676，所以在360～630之间的完全平方数为192，202，212，222，232，242，252．
即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361，400，441，484，529，576，625．
【题文】今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这3种课本的数量分别相等．那么最多可分多少堆? 【答案】14 【解析】
显然堆数是42的约数，是112的约数，是70的约数．即为42，112，70的公约数，有(42，112，70)＝14．
所以，最多可以分成14堆．
【题文】加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件．要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人? 【答案】10 【解析】
为了使生产均衡，则每道工序每小时产生的零件个数应相等，设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人，有6A＝10B＝15C＝k，那么k的最小值为6，10，15的最小公倍数，即[6，10，15]＝30． 所以A＝5，B＝3，C＝2，则三道工序最少共需要5+3+2＝10名工人．
【题文】有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米．如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后，3人又可以相聚? 【答案】30 【解析】
设在x分钟后3人再次相聚，有甲走了120x米，乙走了100x米，丙走了70x米，有他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．
即120x－100x，120x－70x，100x－70x均是300的倍数，那么300就是20x，50x，30x的公约数． 有(20x，50x，30x)＝300，而(20x，50x，30x)＝x(20，50，30)＝10x，所以x＝30． 即在30分钟后，3人又可以相聚．
【题文】 3条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步．开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长
千米，中圈跑道长
千米，外圈跑道长
千米
．甲每小时跑千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米．问他们同时出发，几小时后，3人第一次同时回到出发点? 【答案】6
【解析】 甲跑完一圈需
÷
＝
小时，乙跑一圈需
÷4＝
小时，丙跑一圈需
÷5＝
．则他们同时回到
出发点时都跑了整数圈，所以经历的时间为，，的倍数，即它们的公倍数．
而＝＝＝6．
所以，6小时后，3人第一次同时回到出发点．
评注：求一组分数的最小公倍数，先将这些分数化为最简分数，将分子的最小公倍数作为新分数的分子，将分母的最大公约数作为新分数的分母，这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；
求一组分数的最大公约数，先将这些分数化为最简分数，将分子的最大公约数作为新分数的分子，将分母的最小公倍数作为新分数的分母，这样得到的新分数即为所求的最大公约数．
【题文】甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90．如果甲数是18，那么乙数是多少? 【答案】30 【解析】
有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积．
有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90＝540，则乙数为540÷18＝30．
【题文】 A，B两数都仅含有质因数3和5，它们的最大公约数是75．已知数A有12个约数，数B有l0个约数，那么A，B两数的和等于多少? 【答案】2550 【解析】
由题意知A可以写成3×52×a，B可以写成3×52×b，其中a、b为整数且只含质因子3、5． 即A＝31+x×52+y，B＝31+m×52+n，其中x、y、m、n均为自然数(可以为0)
由A有12个约数，所以[(1+x)+1]×[(2+y)+1]＝(2+x)×(3+y)＝12，所以A为31+2×52＝675，31+1×52+1＝1125，或31+0×52+4＝46875；
，或．对应
由B有10个约数，所以[(1+m)+1]×[(2+n)+1]＝(2+m)×(3+n)＝10，所以＝1875．
只有(675，1875)＝75，所以A＝675，B＝1875． 那么A，B两数的和为675+1875＝2550．
．对应B为31+0×52+2
解法二：易知A、B中有一个数质因数中出现了两次5，多于一次3，那么，先假设它出现了N次3，则约数有：
(2+1)×(N+1)＝3·(N+1)个
12与10其中只有12是3的倍数，所以3(N+1)＝12，易知N＝3，这个数是A，即A＝33×52＝675． 那么B的质数中出现了一次3，多于两次5，则出现了M次5，则有：(1+1)×(M+1)＝2(M+1)＝10，M＝4．B＝3×54＝1875．
那么A，B两数的和为675+1875＝2550．
【题文】有两个自然数，它们的和等于297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693．这两个自然数的差等于多少? 【答案】33 【解析】
设这两数为a，b，记a=(a,b)q1，b=(a,b)q2．
它们的和为：a+b＝(a,b)q1+(a,b)q2 =(a,b)(q1+q2)=297．…………………① 它们的最大公约数与最小公倍数的和为：
[a,b]＋(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)＝(a,b)(q1q2+1)=693，且(q1,q2)=1.………②
综合①、②知(a，b)是297，693的公约数，而(297，693)＝99，所以(a，b)可以是99，33，11，9，3，1．
第一种情况：(a，b)＝99，则(q1+q2)＝3，(q1q2+1)＝7，即q1q2＝6＝2×3，无满足条件的q1，q2； 第二种情况：(a，b)＝33，则(q1+q2)＝9，(q1q2+1)＝21，即q1q2＝20＝22×5，则q1＝5，q2＝4时满足，a＝(a,b)q1＝33×5＝165，b＝(a,b)q2＝33×4＝132，则a-b＝165－132＝33；
第三种情况：(a，b)＝11，则(q1+q2)＝27，(q1q2+1)＝63，即q1q2＝62＝2×31，无满足条件的q1，q2； 一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的的q1，q2． 所以，这个两个自然数的差为33．
【题文】两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60．问这样的自然数共有多少组? 【答案】10 【解析】
设这两数为a，b，记a=(a,b)q1，b=(a,b)q2．
它们的和为：a+b＝(a,b)q1+(a,b)q2 =(a,b)(q1+q2)=60．…………………① 它们的最大公约数与最小公倍数的和为：
[a,b]＋(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)＝(a,b)(q1q2+1)=60，且(q1,q2)=1.………②
联立①、②有(q1+q2)= (q1q2+1)，即q1+q2-q1q2=1，(q1-1)(1-q2)=0，所以q1＝1或q2＝1． 即说明一个数是另一个数的倍数，不妨记a＝kb(k为非零整数)，
有，即(k+1)b＝60，b确定，则k确定，则kb即a确定．
60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b可以等于2，3，4，5，6，10，12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果b＝60，则(k+1)＝1，而k为非零整数． 对应的a、b有10组可能的值，即这样的自然数有10组．
进一步，列出有(a,b)为(58，2)，(57，3)，(56，4)，(55，5)，(54，6)，(50，10)，(48，12)，(45，15)，(40，20)，(30，30) ．
评注：如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系． 【题文】3个连续的自然数的最小公倍数是9828，那么这3个自然数的和等于多少? 【答案】81 【解析】
当三个连续的自然数中存在两个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半； 当三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积． 则当a，a+1，a+2中有2个偶数时，a(a+1)(a+2)＝9828×2，
当a，a+1，a+2中有1个偶数时，a(a+1)(a+2)＝9828．
对9828分解质因数：9828＝2×2×3×3×3×7×13，我们注意，13是其最大的质因数，验证不存在3个连续的自然数的积为9828．
则这三个自然数的积只能是9828×2，此时这三个数中存在两个偶数，有9828×2＝2×2×2×3×3×3×7×13．
13×2＝26，有26，27，28三个数的积为9828×2，所以这三个连续的自然数数为26，27，28，其中有两个偶数，满足题意．
所以，这三个数的和为26+27+28＝81．
评注：我们知道两个连续的自然数互质，而两个互质的数的公倍数等于它们的积，即[a,b]＝a×b． 记这3个连续的自然数为a，a+1，a+2．
有[a,a+1,a+2]＝[a,a+1,a+1,a+2]＝[[a,a+1],[a+1,a+2]]＝[a×(a+1),(a+1)×(a+2)]＝ (a+1)×[a,a+2] ．
因为a，a+2同奇同偶，
当a，a+2均是偶数时，a，a+2的最大公约数为2，则它们的最小公倍数为当a，a+2均是奇数时，a，a+2互质，则它们的最小公倍数为a×(a+2) ．
；
所以(a+1)×[a,a+2]＝．
即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或．
当三个连续的自然数中存在两个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半； 当三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．
【题文】甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少? 【答案】18 【解析】
对90分解质因数：90＝2×3×3×5．
因为5126，所以5甲，即甲中不含因数5，于是乙必含因数5． 因为2105，所以2乙，即乙中不含因数2，于是甲必含因数2×2． 因为9105，所以9乙，即乙最多含有一个因数3．
第一种情况：当乙只含一个因数3时，乙＝3×5＝15，由[甲，乙]＝90＝2×32×5，则甲＝2×32＝18； 第二种情况：当乙不含因数3时，乙＝5，由[甲，乙]＝90＝2×32×5，则甲＝2×32＝18． 综上所需，甲为18．
评注：两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子，并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值． 如a＝2×33×52×7，b＝23×32×5×7×11，则A、B的最小公倍数含有质因子2，3，5，7，11，并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数．即依次含有3个，3个，2个，1个，1个，即[a,b]＝23×33×52×7×11．
【题文】 a>b>c是3个整数．a，b，c的最大公约数是15；a，b的最大公约数是75；a，b的最小
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