理学院
School of Sciences
微积分基本定理的证明
Proof of the fundamental theorem of calculus
学生姓名： 张智 学生学号： 201001164 所在班级： 数学101 所在专业： 数学与应用数学 指导老师： 杨志林
摘 要
微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，自十七世纪以来，微积分不断完善成为一门学科。而微积分基本定理的则是微积分中最重要的定理，它的建立标志着微积分的完成，成为数学发展史的一个里程碑。因此就有了研究微积分基本定理的必要性。本文从十七世纪到二十世纪以来的科学家如巴罗、牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、勒贝格等人对微积分基本定理的发展所作出的贡献展开论述。并论述了定理在微积分学理论发展中的应用。如换元公式、分部积分公式、Taylor中值定理的积分证明、连续函数的零点定理的证明，建立了微分中值定理与积分中值定理的联系，在一元函数和多元函数上的推广等等。最后给出定理的几个证明方法。
关键词：微积分基本定理，发展史，定理的应用，定理的证明
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ABSTRACT
Calculus the subject in the position of the development of mathematics is very important,since seventeenth Century,calculus constantly improved as a discipline.While the fundamental theorem of calculus is the most important theorems in calculus,which establishment marks the complete of the calculus, become a milepost of the development history of mathematics. So it is necessary to study the fundamental theorem of calculus. In this paper,since seventeenth Century to twentieth Century,launches the elaboration from scientists such as Barrow, Newton, Leibniz, Cauchy, Riemann, Lebesgue and others on made the contribution to the development of the fundamental theorem of calculus. And discusses the application of theorem in the development of the calculus theory.Such as the transform formula, integral formula of integration by parts, proof of the Taylor mean value theorem of continuous function, the zero point theorem proof, established the differential mean value theorem and the integral mean value theorem in contact,a unary function and multivariate function on the promotion and so on.Finally gave several proofs of the theorem.
Keywords:Fundamental Theorem of Calculus,phylogeny,Application,Proof
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目 录
摘 要 ..................................................................... I ABSTRACT ................................................................. II 第一章 微积分基本定理发展历史 ............................................. 1
1.1前言 ............................................................... 1 1.2巴罗的几何形式的微积分基本定理 ..................................... 1 1.3牛顿的反流数形式的微积分基本定理 ................................... 3 1.4莱布尼兹的建立在符号基本上的微积分基本定理 ......................... 4 1.5柯西现代形式的微积分基本定理 ....................................... 5 1.6黎曼积分下的微积分基本定理 ......................................... 6 1.7勒贝格测度积分论下的微积分基本定理 ................................. 8 第二章 微积分基本定理的应用 .............................................. 10
2.1微积分基本定理在微积分学理论发展中的应用 .......................... 10 2.2微积分基本定理在换元公式和分部积分中的应用 ........................ 11 2.3微积分基本定理在Taylor中值定理的积分证明中的应用 ................. 12 2.4利用微积分基本定理证明连续函数的零点定理 .......................... 13 2.5一元函数牛顿一莱布尼兹公式的推广 .................................. 14 2.6 二元函数牛顿一莱布尼兹公式的推广 ................................. 16 第三章 微积分基本定理的证明 .............................................. 20
3.1微积分基本定理的一个证明 .......................................... 20 3.2 利用定积分的定义证明微积分基本定理 ............................... 21 3.3 利用微分证明微积分基本定理 ....................................... 22 3.4 利用中值定理证明微积分基本定理 ................................... 22 3.5在实变函数中勒贝格对微积分基本定理进行了进一步的探索 .............. 22 结论 ..................................................................... 23 致谢 ..................................................................... 23 参考文献 ................................................................. 24
III
第一章 微积分基本定理发展历史
1.1前言
微积分是经典数学的重要内容，曾引起马克思、恩格斯、列宁的关心和兴趣。他们从哲学家的角度，对微积分及其发展史进行深入地研究，并对微积分的本质进行了广泛的讨论。认为微分和积分是微积分的主要研究对象，它们之间的矛盾是微积分的主要矛盾，明确指出：微积分这门科学，是研究微分和积分这对矛盾的科学。为我们研究微积分及其历史提供了线索。本文以研究反映微分和积分内在联系的微积分基本定理发展为主线，简叙微积分发展历史。
事物是普遍联系的，发现事物的一种联系，是一种创造。从哲学角度来说，事物相距越远，其发现难度就越大，就越能说明事物之间的联系，其发现的意义也就越大。微积分基本定理就是这样一项发现和创造。
微积分基本定理?f(x)dx?F(b)?F(a)作为微积分的核心定理，一方面，它将求函
ab数定积分计算化为求函数原函数的计算，从而简化了定积分的计算，为微积分的应用带来了活力。另一方面，它在理论上揭示了微分和积分这对矛盾的内在联系和转化规律。因此，微积分基本定理的确定和完善，成为微积分发展的标志，在微积分发展史上有着重要的意义。
微积分基本定理从发现到形成现在的形式，跨度将近二个世纪，大致分为萌芽、创立和完善三个阶段，作出贡献的有巴罗、牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、勒贝格等人。
1.2巴罗的几何形式的微积分基本定理
微分和积分的概念，古而有之，在古希腊时代，伟大数学家就创立了求抛物线切线的方法。我国古代数学家祖冲之利用无穷小分割的方法，计算出圆周率为3．1415926，创造了中国古代数学的辉煌一章。所有这些，都为微积分创立做了必要的准备。特别从15—16世纪欧洲文艺复兴时代以来，一大批数学家沿着古人的道路，在求切线，求面积和体积这两类微分和积分的基本问题上进行了深入的研究，得到了用无穷小方法求切线和面积的方法，为微积分的诞生做出了贡献，其中有培根、韦达、费马、笛卡尔、开普勒、帕斯卡等人。由于时代的限制，这些研究都是针对个别问题的，并未形成统一的方
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