湖南长沙市一中2011届高三数学第四次月考 理 新人教A版【会员独享】
9(3n?1?1)?(3n?2)3nn?1??(3n?2)32
73n(6n?7)?Tn??nS?4T?7?(6n?7)344nn，又 ……………………………12分
2
1bf(x)?ax3?bx?cx(a?0)0??13a19．（本题满分13分）设函数，已知a?b?c，且，曲线y?f(x)在x=1处取极值．
（Ⅰ）如果函数f(x)的递增区间为[s,t]，求|s?t|的取值范围；
′
（Ⅱ）如果当x?k(k是与a,b,c无关的常数)时，恒有f(x)?a?0，求实数k的最小值 ?(x)?ax2?2bx?c?f 解：（Ⅰ）∵，∴f(1)?a?2b?c?0又a?b?c，可得
4a?a?2b?c?4c，即4a?0?4c，故a?0，c?0．则判别式??4b2?4ac?0知方程
f?(x)?ax2?2bx?c?0（*）有两个不等实根，
?设为x1x2，又由f(1)?a?2b?c?0知，x1?1为方程（*）的一个实根，
又由根与系数的关系得
x1?x2??2b2bx2???1?0?x1a，a．………………………3分
??当x?x2或x?x1时，f(x)?0，当x2?x?x1时，f(x)?0，
故函数f(x)的递增函数区间为[x2,x1]，由题设知[x2,x1]?[s,t]，
因此
|s?t|?|x1?x2|?2?0?2ba，
…………………………………………………6分
由（1）知
b?1a，得|s?t|的取值范围为[2,4)． …………………………………8分
22?（Ⅱ）由f(x)?a?0，即ax?2bx?a?c?0，即ax?2bx?2b?0．
2b2bbx??0(2x?2)?x2?0aaa因a?0，得，整理得． ………………………9分
bbbg()?(2x?2)?x2a设a，它可以看作是关于a的一次函数．
x2?bbg()0??1a由题意，函数y?a对于恒成立．
2??x?2x?2?0?g(1)?0?2?g(0)?0?x?0故?即?得x??3?1或x?3?1．…………………………11分
由题意[k,??)?(??,?3?1)[3?1,??)，故k?3?1．
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因此k的最小值为3?1．
…………………………………………………13分
20．（本小题满分13分）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自2009年9月以来的第n个月（2009年9月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量=内销量与出口量的和）分别为bn、cn和an(单位：万件)，依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：bn + 1 = a an，cn + 1 = an + b an2 （其中a、b为常数），已知a1 = 1万件，a2 = 1.5万件，a3 = 1.875万件．
（1）求a，b的值，并写出an + 1与an满足的关系式；
（2）试用你所学的数学知识论证销售总量an逐月递增且控制在2万件内； （3）试求从2009年9月份以来的第n个月的销售总量an关于n的表达式． 【解析】（1）依题意：an + 1 = bn + 1 + cn + 1 = a an + an + b an2，
3则a2 = a a1 + a1 + b a12 ∴a + 1 + b = 2 ①
33315a??b()2?228 ② 则a3 = a a2 + a2 + b a22 ∴211解①②得a = 1，b = –2 从而an + 1 = 2an –2an2 (n∈N*) ………………………5分 11（2）证法（Ⅰ）由于an + 1 = 2an –2an2 = –2 (an – 2)2 + 2≤2． 11又an + 1– an= –2an2 + 2an – an = –2an (an – 2) ＞0，
但an + 1≠2，否则可推得a 1= a 2= 2与a 1= 1，a2 = 1.5矛盾．故an + 1＜2 于是an＜2
所以an + 1＞an 从而an＜an + 1＜2 …………………………………9分 证法（Ⅱ）由数学归纳法
（i）当n = 1时，a1 = 1，a2 = 1.5，显然a1＜a2＜2成立 （ii）假设n = k时， ak＜ak + 1＜2成立．
11由于函数f (x) = –2x2 + 2x = –2(x – 2)2 + 2在[0，2]上为增函数，
111则f (ak) ＜f (ak + 1) ＜f (2)即2ak (4 – ak) ＜2ak + 1(4 –ak + 1) ＜2×2×(4 – 2)
即 ak + 1＜ak + 2＜2成立． 综上可得n∈N*有an＜an + 1＜2 …………………………9分
11（3）由an + 1 = 2an –2an2得2 (an + 1– 2) = – (an – 2)2 即(2 – an + 1) = 2(2 – an)2
又由（2）an＜an + 1＜2可知2 – an + 1＞0，2 – an＞0
则lg (2 – an + 1) = 2 lg (2 – an) – lg 2 ∴lg (2 – an +1) – lg2 = 2[lg (2 – an) – lg2] 即{lg (2 – an + 1) – lg2}为等比数列，公比为2，首项为lg (2 – a1) – lg 2 = –lg 2
1n?1()2故lg (2 – an) – lg 2 = (–lg 2)·2n – 1 ∴an = 2 – 22 (n∈N*)为所求 ……………13分
bax??2lnx,f(1)?0.x21．（本小题满分13分）已知函数f (x) =
（1）若函数f (x)在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f (x)的图象在x = 1处的切线垂直于y轴，数列{
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an}满足
湖南长沙市一中2011届高三数学第四次月考 理 新人教A版【会员独享】 1)?nan?1an?1．
an?1?f?(*(n?N)； ①若a1≥3，求证：an≥n + 2
111???1?a1?a1?a123②若a1 = 4，试比较
?12与1?an5的大小，并说明你的理由．
【解析】（1）∵f (1) = a – b = 0，∴a = b，∴f′(x) =
a2a?2??x恒大于等于零，或恒小于等于零． x单调函数，则?x? (0，+∞)内f(x) = f?(x)?a?a2?x2x．要使函数f (x)在其定义域内为
2x2x2x2xax2?a?2xa???1a???x2?1而x2?12xx2?1 x2 由f(x)?0得 ?a?1 由f(x)?0得
2x?02x?1而 ?a?0 经验证a=0及a=1均合题意，故a?0或a?1
∴所求实数a的取值范围为a≥1或a≤0． ………………………5分
（2）∵函数f (x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，∴f′(1) = 0，即a + a – 2 = 0，解得a = 1，
2?1?2?1??na?1?a?nan?1.???1nn??a?1∴f′(x) = ?x?，∴an + 1 = f′?n? ………7分
①用数学归纳法证明：（i）当n = 1时，a1≥3 = 1 + 2，不等式成立；（ii）假设当n = k时不等式成立，即ak?k?2,那么ak – k≥2＞0，∴ak + 1 = ak (ak – k) + 1≥2 (k + 2) + 1 = (k + 3) + k + 2＞k + 3，也就是说，当n = k + 1时，ak + 1≥(k + 1) + 2．根据（i）和（ii），对于所有n≥1，有an≥n + 2． ……………………………………10分
②由an + 1 = an (an – n) + 1及①，对k≥2，有ak = ak – 1 (ak–1 – k + 1) + 1≥ak –1 (k – 1 + 2 – k + 1) + 1 = 2ak–1 + 1，∴ak + 1≥2 (ak–1 + 1)≥22 (ak – 2 + 1)≥23 (ak –3 + 1)≥…≥2k–1 (a1 + 1)而11?a1?15111111??k?1,????ak?1a1?121?a11?a21?a311?an，于是当k≥2时，
111(1?2?22??a1?11n11212?n?1)??2?(1?n)?.51?155222 …………………………13分
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