【志鸿优化设计】高考数学(人教版,文科)一轮总复习：课时规范练19 正弦定理、余弦定理

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课时规范练19 正弦定理、余弦定理

一、选择题

1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边边长分别为a,b,c.若a=c=,且A=75°,则b等于( ) A.2 B.4+2 C.4-2 D. 答案:A

解析:如图所示.

在△ABC中,由正弦定理得=4,

∴b=2.故选A.

2.在△ABC中,角A,B,C所对边的边长分别为a,b,c,若,则△ABC一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 答案:A

解析:方法一:由正弦定理得,

∴sin Acos B=cos Asin B,即sin(A-B)=0, ∴A=B.

方法二:由余弦定理将角化为边,可得a=b,故选A.

3.在△ABC中,角A,B,C的对边边长分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)·tan B=ac,则角B的值为( ) A. B. C. D. 答案:D

解析:由(a2+c2-b2)tan B=ac及余弦定理得2accos Btan B=ac,∴sin B=.又0

∴B=或B=.故选D.

4.若△ABC的内角A,B,C满足6sin A=4sin B=3sin C,则cos B=( ) A. B. C. D. 答案:D

解析:∵6sin A=4sin B=3sin C,

∴6a=4b=3c.

不妨令a=1,则b=,c=2.

由余弦定理可知cos B=.故选D.

5.在△ABC中,内角A,B,C的对边边长分别是a,b,c.若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则角A等于( A.30° B.60° C.120° D.150° 答案:A

解析:利用正弦定理,sin C=2sin B可化为c=2b.

又∵a2-b2=bc,

∴a2-b2=b×2b=6b2, 即a2=7b2,a=b. 在△ABC中,cos A=, ∴A=30°.故选A.

6.已知△ABC的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=,BC=,则等于( ) A.- B. C.- D. 答案:C

解析:因为AB2+AC2=BC2,所以△ABC为直角三角形,∠A=90°.

如图所示,外接圆的圆心为BC的中点,

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则cos∠AOB==-. 所以·=||||·cos∠AOB==-,故选C. 二、填空题

7.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=,B=,tan C=2,则c= . 答案:2

解析:?sin2C=?sin C=.由正弦定理,得,∴c=×b=2.

8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,2bcos B=acos C+ccos A,且b2=3ac,则角A的大小为 . 答案:

解析:由题意根据正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B>0,则cos B=,

故B=,sin B=.

又∵3sin Asin C=sin2B=, ∴4sin Asin C=1,

即2[cos(A-C)-cos(A+C)]=1, 2[cos(A-C)+cos B]=1.

∴cos(A-C)=0.又∵-π

9.在△ABC中,∠A=,AB=2,且△ABC的面积为,则边BC的长为 . 答案:

解析:由三角形面积公式,得S=bcsin A=b×2sin,解得b=1,

由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=1+4-2=3, 所以BC=a=.

10.在△ABC中,cos A==8,则△ABC的面积为 . 答案:3 解析:∵·=||·||·cos A=8>0,∴||·||==8×=10,由于00,∴sin A=,∴S△ABC=|·||·sin A=×10×=3,即△ABC的面积为3.

11.在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,给出下列结论:

①由已知条件,这个三角形被唯一确定;②△ABC一定是钝角三角形;③sin A∶sin B∶sin C=7∶5∶3;④若b+c=8,则△ABC的面积为. 其中正确结论的序号是 . 答案:②③

解析:由条件可设故①不正确;由余弦定理可得cos A=-,即A=120°,故②正确;

由正弦定理得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=7∶5∶3,故③正确;

当b+c=4k=8时,则k=2,故三角形三边分别为7,5,3,所以S△ABC=bcsin A=×5×3×sin 120°=,故④不正确.

三、解答题

12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin2B+sin2C-sin2A+sin Bsin C=0,求tan A的值. 解:依题意及正弦定理可得b2+c2-a2=-bc,则由余弦定理得cos A==-.又0

(2)若a=2,求△ABC的面积S的最大值. 解:(1)由已知得·?sin A=,

又在锐角△ABC中,所以A=60°.

22

(2)因为a=2,A=60°,所以b+c=bc+4,S=bcsin A=bc.

22

而b+c≥2bc?bc+4≥2bc?bc≤4, 又S=bcsin A=bc≤×4=,

所以△ABC的面积S的最大值为.

14.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足=2+2cos(A+B). (1)求证:b=2a;

(2)若c=a,求角C的大小.

(1)证明:由已知得sin(2A+B)=2sin A+2cos(A+B)sin A,

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即sin(A+π-C)=2sin A-2sin Acos C,

sin(C-A)=2sin A-2sin Acos C,sin Ccos A+cos Csin A=2sin A, sin(A+C)=2sin A,sin B=2sin A,由正弦定理知b=2a. (2)解:由余弦定理知cos C==-,所以C=120°.

15.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=1,b=2,B=. (1)求sin A的值; (2)求cos 2C的值. 解:(1)a=1,b=2,B=,

依据正弦定理得, 即,解得sin A=.

(2)∵a

∴sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sin2A=. ∵A+B+C=π,∴C=-A. ∴cos 2C=cos

=cos cos 2A+sin sin 2A =- =-.

∴cos 2C=-. 四、选做题

1.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos 2A+cos 2B=2cos 2C,则cos C的最小值为( ) A. B. C. D.- 答案:C

解析:由cos 2A+cos 2B=2cos 2C,利用倍角公式得,2cos2A-1+2cos2B-1=2(2cos2C-1),即

cos2A+cos2B=2cos2C,化简得sin2A+sin2B=2sin2C,由正弦定理,得a2+b2=2c2,由余弦定理,得cos C=,当且仅当a=b时等号成立,故cos C的最小值为,选C.

2.在锐角三角形ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,=6cos C,则= . 答案:4

解析:=6cos C?6abcos C=a2+b2,6ab·=a2+b2,a2+b2=,

····=4.

3.已知函数f(x)=sin 2x-cos 2x-,x∈R. (1)求函数f(x)的最小值和最小正周期;

(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足c=,f(C)=0且sin B=2sin A,求a,b的值. 解:(1)f(x)=sin 2x-=sin-1,

则f(x)的最小值是-2,最小正周期是T==π. (2)f(C)=sin-1=0,则sin-1=0, 0

因为sin B=2sin A,所以由正弦定理得b=2a,①

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos,即c2=a2+b2-ab=3,② 由①②解得a=1,b=2.

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