二次函数知识点
一、基本概念:
b,c是常数,a?0)的函数,叫做二次函数。1.二次函数的概念:一般地,形如y?ax2?bx?c(a, c可以为零.二次函数的定义域是这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数a?0,而b,全体实数.
2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
b,c是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项. ⑵ a,二、基本形式
1. 二次函数基本形式:y?ax2的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
a的符号 开口方向 顶点坐标 0? ?0,对称轴 y轴 性质 x?0时,y随x的增大而增大;x?0时,y随a?0 向上 x的增大而减小;x?0时,y有最小值0. x?0时,y随x的增大而减小;x?0时,y随a?0 向下 0? ?0,y轴 x的增大而增大;x?0时,y有最大值0. 2. y?ax2?c的性质:(上加下减)
a的符号 开口方向 顶点坐标 c? ?0,对称轴 y轴 性质 x?0时,y随x的增大而增大;x?0时,y随a?0 向上 x的增大而减小;x?0时,y有最小值c. x?0时,y随x的增大而减小;x?0时,y随a?0 向下 c? ?0,y轴 x的增大而增大;x?0时,y有最大值c.
3. y?a?x?h?的性质:(左加右减)
a的符号 开口方向 2顶点坐标 0? ?h,对称轴 性质 x?h时,y随x的增大而增大;x?h时,y随a?0 向上 X=h x的增大而减小;x?h时,y有最小值0. x?h时,y随x的增大而减小;x?h时,y随a?0 向下 0? ?h,X=h x的增大而增大;x?h时,y有最大值0. 4. y?a?x?h??k的性质:
a的符号 开口方向 2顶点坐标 对称轴 性质 x?h时,y随x的增大而增大;x?h时,y随a?0 向上 ?h,k? X=h x的增大而减小;x?h时,y有最小值k. x?h时,y随x的增大而减小;x?h时,y随a?0 向下 ?h,k? X=h x的增大而增大;x?h时,y有最大值k.
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
2k?; 方法1:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k,确定其顶点坐标?h,k?处,具体平移方法如下: ⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变,将其顶点平移到?h,向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k 2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法2:
⑴y?ax2?bx?c沿y轴平移:向上(下)平移m个单位,y?ax2?bx?c变成
y?ax2?bx?c?m(或y?ax2?bx?c?m)
⑵y?ax2?bx?c沿轴平移:向左(右)平移m个单位,y?ax2?bx?c变成
y?a(x?m)2?b(x?m)?c(或y?a(x?m)2?b(x?m)?c)
四、二次函数y?a?x?h?2?k与y?ax2?bx?c的比较
从解析式上看,y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到
b?4ac?b2b4ac?b2?前者,即y?a?x???,其中h??,. k?2a4a2a4a??22五、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k,确定其开
口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y轴的交点?0,以及?0,与x轴的交点?x1,c?、c?、c?关于对称轴对称的点?2h,0?,
?x2,0?(若与x轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x轴的交点,与y轴的交点.
六、二次函数y?ax2?bx?c的性质
?b4ac?b2?b 1. 当a?0时,抛物线开口向上,对称轴为x??,顶点坐标为??,?.
2a4a2a??当x??bbb时,y随x的增大而减小;当x??时,y随x的增大而增大;当x??时,y有2a2a2a4ac?b2最小值.
4a?b4ac?b2?bb 2. 当a?0时,抛物线开口向下,对称轴为x??,顶点坐标为??,时,y?.当x??2a4a2a2a??bb4ac?b2随x的增大而增大;当x??时,y随x的增大而减小;当x??时,y有最大值.
2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:y?ax2?bx?c(a,b,c为常数,a?0);
2. 顶点式:y?a(x?h)2?k(a,h,k为常数,a?0);
3. 两根式:y?a(x?x1)(x?x2)(a?0,x1,x2是抛物线与x轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,
只有抛物线与x轴有交点,即b2?4ac?0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数y?ax2?bx?c中,a作为二次项系数,显然a?0.
⑴ 当a?0时,抛物线开口向上,a的值越大,开口越小,反之a的值越小,开口越大; ⑵ 当a?0时,抛物线开口向下,a的值越小,开口越小,反之a的值越大,开口越大.
总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向,a的正负决定开口方向,a的大小决定开口的大小.
2. 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在a?0的前提下,
b当b?0时,??0,即抛物线的对称轴在y轴左侧;
2ab当b?0时,??0,即抛物线的对称轴就是y轴;
2ab当b?0时,??0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.
2a⑵ 在a?0的前提下,结论刚好与上述相反,即
b当b?0时,??0,即抛物线的对称轴在y轴右侧;
2ab当b?0时,??0,即抛物线的对称轴就是y轴;
2ab当b?0时,??0,即抛物线对称轴在y轴的左侧.
2a总结起来,在a确定的前提下,b决定了抛物线对称轴的位置.
ab的符号的判定:对称轴x??是“左同右异” 总结:
3. 常数项c
b在y轴左边则ab?0,在y轴的右侧则ab?0,概括的说就2a ⑴ 当c?0时,抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当c?0时,抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为0; ⑶ 当c?0时,抛物线与y轴的交点在x轴下方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为负. 总结起来,c决定了抛物线与y轴交点的位置.
b,c都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 总之,只要a,二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式; 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称
y?a2x?bx?关于cx轴对称后,得到的解析式是y??ax2?bx?c;
y?a?x?h??k关于x轴对称后,得到的解析式是y??a?x?h??k;
22 2. 关于y轴对称
y?a2x?bx?关于cy轴对称后,得到的解析式是y?ax2?bx?c;
y?a?x?h??k关于y轴对称后,得到的解析式是y?a?x?h??k;
22 3. 关于原点对称
y?a2x?bx?关于原点对称后,得到的解析式是cy??ax2?bx?c; y?a?x??h?关于原点对称后,得到的解析式是ky??a?x?h??k; 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)
b2 y?ax?bx?关于顶点对称后,得到的解析式是cy??ax?bx?c?;
2a2222y?a?x?h??k关于顶点对称后,得到的解析式是y??a?x?h??k.
22 5. 关于点?m,n?对称
n?对称后,得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k y?a?x?h??k关于点?m,22 根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.
初中二次函数知识点汇总(史上最全).
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