2010考研数学二真题及答案
一、选择题
x2?x11?2的无穷间断点的个数为 1.函数f(x)?2x?1xA0 B1 C2 D3
x2?x11?2有间断点x?0,?1 详解：f(x)?2x?1xlimf(x)?limx?0x?0x(x?1)111?2?limx1?2，
(x?1)(x?1)xxx?0所以x?0为第一类间断点
limf(x)?x?1121?1?，所以x?1为连续点 22limf(x)?limx??1x??1x(x?1)11?2??，所以x??1为无穷间断点。
(x?1)(x?1)x所以选择B。
2.设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y??p(x)y?q(x)的两个特解，若常
数?,?使?y1??y2是该方程的解，?y1??y2是该方程对应的齐次方程的解，则
111122222122C??,?? D??,??
3333A??,?? B???,???
（?y1?uy2)??P(x)(?y1?uy2)?0 详解：因?y1?uy2是y??P(x)y?0的解，故
??所以?(y1?P(x)y1)?u(y2?uy2)?0 ??而由已知y1?P(x)y1?q,y2?P(x)y2?q 所以(??u)q(x)?0
又?y1?uy2是非齐次y??P(x)y?q(x)的解； 故(?y1?uy2)??P(x)(?y1?uy2)?q(x)
所以(??u)q(x)?q(x) 所以??u?1。 23.曲线y?x2与曲线y?alnx(a?0)相切，则a? A4e B3e C2e De
详解：因y?x2与y?alnx(a?0)相切，故2x?a?aa1a?aln 时，y?aln2222a时，y?aln2a1a?aln 2221?x?xa 2在y?x2上，x?在y?alnx(a?0)上，x?所以选择C
4.设m,n为正整数,则反常积分?0A仅与m取值有关
1mln2(1?x)nxdx的收敛性
B仅与n取值有关
C与m,n取值都有关 D与m,n取值都无关 详解：?01mln2(1?x)nxdx??120mln2(1?x)nxdx??11mln2(1?x)n2xdx，其中
?120mln2(1?x)nx1dx在x?0是瑕点，由无界函数的反常积分的审敛法知：其敛散性
mln2(1?x)n与n有关，而?12xdx在x?1是瑕点，由于lim(x?1)x?1??mln2(1?x)nx ?0，
其中?是可以任意小的正数，所以由极限审敛法知对任意m，都有
?1mln2(1?x)n12xdx收敛，与m无关。故选B。
yzxx5.设函数z?z(x,y)由方程F(,)?0确定,其中F为可微函数,且F2??0,则
x?z?z?y= ?x?yAx Bz C?x D?z
详解：
F?z??x????yFznn?F1?(?yzyz???)?F(?)F??F?212x2x2?xx，
1F2?F2??x6.(4)lim??x??i?1n= 22(n?i)(n?j)j?1A?dx?01x01x11 Bdydxdy 2??00(1?x)(1?y)(1?x)(1?y)1C?dx?dy 00(1?x)(1?y)11D?dx?011dy0(1?x)(1?y2)
1nnn?lim????lim22详解：x??i?1j?1(n?i)(n?j)x??i?1j?1nnnij??n(1?)?n2??1?()2?
nn???，?s线性表示，7.设向量组I:?1,?2,?，?r可由向量组II：?1，?2，下列命题正确
的是：
A若向量组I线性无关，则r?s B若向量组I线性相关，则r>s C若向量组II线性无关，则r?s D若向量组II线性相关，则r>s 详解：由于向量组I能由向量组II线性表示，所以r(I)?r(II)，即
r(?1,?,?r)?r(?1,?,?s)?s 若向量组I线性无关，
则r(?1,?,?r)?r，所以r(?1,?,?r)?r(?1,?,?s)?s，即r?s，选（A）。 8.设A为4阶对称矩阵,且A2?A?0,若A的秩为3,则A相似于
?1??1???1??1?????????11?1?1? B??? ? D?A?C??????1?1??1??1?????????0?0? ?0?0????详解：设?为A的特征值，由于A2?A?0,所以?2???0，即(??1)??0， 这样A的特征值为-1或0。由于A为实对称矩阵，故A可相似对角化，即A??，r(A)?r(?)?3,
21年考研数学二真题及答案
