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专题能力训练14 空间中的平行与垂直
一、能力突破训练
1.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
2.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,点P在△AEF内的射影为O.则下列说法正确的是( )
A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的内心 C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心
3.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列命题:①若α⊥β,m∥α,则m⊥β;②若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥β;③若m⊥β,m∥α,则α⊥β;④若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β. 其中正确命题的序号是( ) A.①④ B.②③ C.②④ D.①③
4.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
5.已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为 .
6.下列命题正确的是 .(填上你认为正确的所有命题的序号) ①空间中三个平面α,β,γ,若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;
②若a,b,c为三条两两异面的直线,则存在无数条直线与a,b,c都相交;
③若球O与棱长为a的正四面体各面都相切,则该球的表面积为a2; ④在三棱锥P-ABC中,若PA⊥BC,PB⊥AC,则PC⊥AB. 7.
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB; (2)求四面体N-BCM的体积.
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8.
如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC. (1)求证:DC⊥平面PAC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.
9.(2018天津,文17)
如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=2(1)求证:AD⊥BC;
(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值; (3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值. 10.
,∠BAD=90°.
(2018北京,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点. (1)求证:PE⊥BC;
(2)求证:平面PAB⊥平面PCD; (3)求证:EF∥平面PCD.
二、思维提升训练 11.如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE. ※ 推 荐 ※ 下 载- ※
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图①
图②
(1)证明:CD⊥平面A1OC;
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36
12.如图,AB是圆O的直径,点C是
,求a的值.
的中点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,已知AB=2,VA=VB=VC=2.
(1)求证:OD∥平面VBC; (2)求证:AC⊥平面VOD; (3)求棱锥C-ABV的体积.
13.已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=,点D为AC的中点,点E在线段AA1上. (1)当AE∶EA1=1∶2时,求证:DE⊥BC1.
(2)是否存在点E,使三棱锥C1-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A1B1C1体积的?若存在,求AE的长,若不存在,请说明理由. 14.
如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分线段PC,且分别交AC,PC于D,E两点,PB=BC,PA=AB. (1)求证:PC⊥平面BDE;
(2)若点Q是线段PA上任一点,判断BD,DQ的位置关系,并证明你的结论; (3)若AB=2,求三棱锥B-CED的体积. ※ 推 荐 ※ 下 载- ※
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专题能力训练14 空间中的平行与垂直
一、能力突破训练
1.A 解析 易知选项B中,AB∥MQ,且MQ?平面MNQ,AB?平面MNQ,则AB∥平面MNQ;选项C中,AB∥MQ,且MQ?平面MNQ,AB?平面MNQ,则AB∥平面MNQ;选项D中,AB∥NQ,且NQ?平面MNQ,AB?平面MNQ,则AB∥平面MNQ,故排除选项B,C,D.故选A.
2.A 解析 如图,易知PA,PE,PF两两垂直,∴PA⊥平面PEF,
从而PA⊥EF, 而PO⊥平面AEF, 则PO⊥EF,
∴EF⊥平面PAO,∴EF⊥AO. 同理可知AE⊥FO,AF⊥EO, ∴O为△AEF的垂心.
3.B 解析 当α⊥β,m∥α时,有m⊥β,m∥β,m?β等多种可能情况,所以①不正确;当m⊥α,n⊥β,且m⊥n时,由面面垂直的判定定理知α⊥β,所以②正确;因为m⊥β,m∥α,所以α⊥β,③正确;若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β或α,β相交,④不正确.故选B.
4.A 解析 (方法一)∵α∥平面CB1D1,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,α∩平面ABCD=m,平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1,∴m∥B1D1.
∵α∥平面CB1D1,平面ABB1A1∥平面DCC1D1,α∩平面ABB1A1=n,平面CB1D1∩平面DCC1D1=CD1, ∴n∥CD1.
∴B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角, 即∠B1D1C等于m,n所成的角.
∵△B1D1C为正三角形,∴∠B1D1C=60°,
∴m,n所成的角的正弦值为.
(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,
补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF∥平面CB1D1,所以平面AEF即为平面α,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.
因为△AEF是正三角形,所以∠EAF=60°,
故m,n所成角的正弦值为5.
.
解析 如图,取CD的中点F,SC的中点G,连接EF,EG,FG.
设EF交AC于点H,连接GH,易知AC⊥EF. 又GH∥SO,∴GH⊥平面ABCD, ∴AC⊥GH.
又GH∩EF=H,∴AC⊥平面EFG. 故点P的轨迹是△EFG,其周长为 ※ 推 荐 ※ 下 载- ※
.
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6.②③④ 解析 ①中也可以α与γ相交;②作平面与a,b,c都相交;③中可得球的半径为r=a;④中由PA⊥BC,PB⊥AC得点P在底面△ABC的射影为△ABC的垂心,故PC⊥AB. 7.(1)证明 由已知得AM=AD=2.
取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.
又AD∥BC,故TN",AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT. 因为AT?平面PAB,MN?平面PAB, 所以MN∥平面PAB.
(2)解 因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,
所以N到平面ABCD的距离为取BC的中点E,连接AE. 由AB=AC=3得AE⊥BC,AE=由AM∥BC得M到BC的距离为
,
PA.
.
故S△BCM=×4×=2.所以四面体N-BCM的体积VN-BCM=8.(1) 证明 因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.
×S△BCM×.
又因为DC⊥AC, 所以DC⊥平面PAC.
(2)证明 因为AB∥DC,DC⊥AC,
所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD,
所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC. 所以平面PAB⊥平面PAC.
(3)解 棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.证明如下:
取PB中点F,连接EF,CE,CF.
又因为E为AB的中点,所以EF∥PA. 又因为PA?平面CEF,所以PA∥平面CEF.
9.(1)证明 由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.
(2)解 取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.
在Rt△DAM中,AM=1,故DM=
.因为AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.在Rt△DAN中,AN=1,故
DN=.
在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cos∠DMN=.
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[人教版]2020年高考数学二轮复习专题五立体几何专题能力训练14空间中的平行与垂直文
