2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、已知（ ）
A、a??1,b??2 B、a??2,b?0 C、a??1,b?0 D、a??2,b??1
x2?ax?blim?3x?2x?2，则常数a,b的取值分别为
x2?3x?22、已知函数f(x)? ，则x?2为f(x)的 2x?4A、跳跃间断点 断点
B、可去间断点 C、无穷间断点 D、震荡间
x?0?0,?13、设函数f(x)???在点x?0处可导，则常数?的取值范围为
xsin,x?0?x?（ ） A、0???1 4
、
曲
线
B、0???1
C、??1
的
渐
近
线
的
条
D、??1 数
为
y?2x?1(x?1)2（ ） A、1
B、2
C、3
D、4
5、设F(x)?ln(3x?1)是函数f(x)的一个原函数，则（ ） A、
?f'(2x?1)dx?
1?C
6x?43?C
12x?8、
设
B、
3?C
6x?4C、
1?C
12x?8D、
6
?为非零常数，则数项级数
n?? ?2nn?1?（ ）
A、条件收敛 关
B、绝对收敛 C、发散 D、敛散性与?有
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 7、已知lim(x??xx)?2，则常数C? . x?C8、设函数?(x)???2x0tetdt，则?'(x)＝ .
????9、已知向量a?(1,0,?1)，b?(1,?2,1)，则a?b与a的夹角为 . 10、设函数z?z(x,y)由方程xz?yz?1所确定，则
?2?z＝ . ?xann111、若幂函数?2x(a?0)的收敛半径为，则常数a? .
2n?1n12、微分方程(1?x)ydx?(2?y)xdy?0的通解为 .
2三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）
x313、求极限：lim
x?0x?sinx?x?ln(1?t)dyd2y,2. 14、设函数y?y(x)由参数方程?所确定，，求2dxdx?y?t?2t?315、求不定积分：sin2x?1dx.
?16、求定积分：
?10x22?x2dx.
17、求通过直线
xy?1z?2且垂直于平面x?y?z?2?0的平面方程. ??32122yd?，其中D?{(x,y)0?x?2,x?y?2,x?y?2}. ??18、计算二重积分
D?2z19、设函数z?f(sinx,xy)，其中f(x)具有二阶连续偏导数，求.
?x?y20、求微分方程y?y?x的通解.
''四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
21、已知函数f(x)?x?3x?1，试求： （1）函数f(x)的单调区间与极值； （2）曲线y?f(x)的凹凸区间与拐点；
（3）函数f(x)在闭区间[?2,3]上的最大值与最小值.
322、设D1是由抛物线y?2x和直线x?a,y?0所围成的平面区域，D2是由抛物线
2y?2x2和直线x?a,x?2及y?0所围成的平面区域，其中0?a?2.试求：
（1）D1绕y轴旋转所成的旋转体的体积V1，以及D2绕x轴旋转所成的旋转体的体积V2. （2）求常数a的值，使得D1的面积与D2的面积相等.
五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
?e?x,x?023、已知函数f(x)??，证明函数f(x)在点x?0处连续但不可导.
?1?x,x?024、证明：当1?x?2时，4xlnx?x2?2x?3.
2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 1、A 2、B 3、C 4、B 5、D 6、C 7、ln2 8、4xe2x
z2?19、 10、? 11、2 12、lnx?x2?2lny?y?C
322xz?yx33x2?lim?6，. 13、limx?0x?sinxx?01?cosxdy(2t?2)dt1??2(t?1)2， 14、dx?dt,dy?(2t?2)dt，
1dx1?tdt1?tdyd2ydx?4(t?1)dt?4(t?1)2.
?1dxdx2dt1?td15、令
t2?12x?1?t,x?2，
?sin2x?1dx??sint?tdt???tdcost??tcost??costdt
??tcost?sint?C??2x?1cos2x?1?sin2x?1?C
16、令x?2sin?，当x?0,??0；当x?1,????4.
?
10x22?x2dx??402sin2?2cos??2cos?d???401?1(1?cos2?)d??(??sin2?)4??2042?17、已知直线的方向向量为s0?(3,2,1)，平面的法向量为n0?(1,1,1).由题意，所求平面
i的法向量可取为n?s0?n0?(3,2,1)?(1,1,1)?3jk21?(1,?2,1).又显然点(0,1,2)111在所求平面上，故所求平面方程为1(x?1)?(?2)(y?1)?1(z?2)?0，即x?2y?z?0. 18
?、
2??yd?????DDsin?d?d????sin?d??242cos?21?d????2(8csc2??22sin?)d?
342?? ?1(?8cot??22cos?)2?2
?34?2z?z''''''19、 ?f1?cosx?f2?y；?f2'?xcosx?f12?xyf22?x?x?y20、积分因子为?(x)?e，??2dxx?elnx?2?1. 2xdy2y??x. dxx1dy2y1在方程两边同乘以积分因子2，得到2?3?.
xxxdxx化简原方程xy?2y?x为
2d(x?2y)1?. 化简得：
dxxd(x?2y)1??dx. 等式两边积分得到通解?dxx故通解为y?xlnx?xC
21、（1）函数f(x)的定义域为R，f(x)?3x?3，令f(x)?0得x??1，函数f(x)的单调增区间为(??,?1],[1,??)，单调减区间为[?1,1]，极大值为f(?1)?3，极小值为
'2'22f(1)??1.
（2）f(x)?6x，令f(x)?0，得x?0，曲线y?f(x)在(??,0]上是凸的，在[0,??)上是凹的，点(0,1)为拐点.
（3）由于f(?1)?3，f(1)??1，f(3)?19，故函数f(x)在闭区间[?2,3]上的最大值为f(3)?19，最小值为f(1)?f(?2)??1. 22、（1）V1??a?2a?（2）A1?22''''?2a20?xdy??a. V2???(2x2)2dy??(32?a5).
a24245?a022322xdx?a.A2??2x2dx?(8?a3).由A1?A2得a?34.
a33223、证（1）因为lim?f(x)?lim?ex?0x?0?x?1，lim?f(x)?lim?(x?1)?1，且f(0)?1，所
x?0x?0以函数f(x)在x?0处连续。
f(x)?f(0)e?x?1f(x)?f(0)x?1?1?lim???1，lim?（2）因为lim??lim???1，
x?0x?0x?0x?0x?0xx?0x所以f'?(0)??1,f'?(0)?1. 由于f'?(0)?f2'?(0)，所以函数f(x)在x?0处不可导.
'24、证 令f(x)?4xlnx?x?2x?3，则f(x)?4lnx?2x?2，
f''(x)?相信能就一定能
44?2x'''，由于当1?x?2时，f(x)?0，故函数f(x)在[1,2)上单调?2?xx''增加，从而当1?x?2时f(x)?f(1)?0，于是函数f(x)在[1,2)上单调增加，从而当
1?x?2时，f(x)?f(1)?0，即当1?x?2时，4xlnx?x2?2x?3
江苏专转本高等数学真题(附答案)
