高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】
考试日期：2009年
院(系)另寸 ___________ 班级 _________ 学号 ______________ 姓名 _________________ 成绩 _____________
大题 小题: 得分
-一- 1 -二二 2 三 4 四 五 六 七 3 5 、填空题：(本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上..)
r
1、 已知向量a、b满足a
3
r r
b 0， a 2， b
r
r
2，则a b _________ .
2、 设 z xln(xy)，贝U —— _____________ .
x y
3、 曲面x2 y2 z 9在点(1,2,4)处的切平面方程为 ________________________________________ .
4、 设f (x)是周期为2的周期函数，它在［,)上的表达式为f(x) x，贝U f (x)的傅里叶级数 在x 3处收敛于 ，在x
____________________ 处收敛于 .
5、 设L为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则
/X y)ds ___________ .
※以下各题在答题纸上作答 ，答题时必须写出详细的解答过程一…,并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级.
、解下列各题：(本题共5小题，每小题7分，满分35分)
1、求曲线
2x 3y z z 3x y
2 c 2 2
9
2^2 2
在点M。(1, 1,2)处的切线及法平面方程.
2
2、求由曲面z 2x 3、判定级数
2y2及z 6 x2 y2所围成的立体体积.
n 1
是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛?
(1)n ln
n 1
n
x
z 2z
4、 设z f (xy, ) sin y，其中f具有二阶连续偏导数，求
y
，
x x y
5、 计算曲面积分
dS
,其中 是球面x2 y2 z2 a2被平面z h (0 h a)截出的顶部. z
1 / 5
(本题满分9分)
抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.
四、(本题满分10分)
计算曲线积分 L(exsiny m)dx (excosy mx)dy,
其中m为常数，L为由点A(a,0)至原点0(0,0)的上半圆周x2 y2
五、(本题满分10分)
求幕级数
的收敛域及和函数
1
3n n .
六、 (本题满分10分)
计算曲面积分 |
2x3dydz 2y3dzdx 3(z2 1)dxdy,
其中为曲面z 1 x2 y2(z 0)的上侧.
七、 (本题满分6分)
设f (x)为连续函数，f (0) a , F (t) [z f (x2 y2 z2)]dv，其中t是由曲面z 、玄t
与z
t2 x2 y2所围成的闭区域，求
lim匚学.
t 0 t3
备注：①考试时间为 2小时； ②考试结束时，请每位考生按卷面 答题纸
草稿纸由表及里依序对折上交;
不得带走试卷。
2 / 5
ax (a 0).
y2
、填空题【每小题4分，共20分】1、 4 ;
2、 二、试解下列各题【每小题7分，共35分】
dz z 3
燈 dx
高等数学A(下册)期末考试试题 【A
2009年6月
卷】
；
3、
参考解答与评分标准 1
y 2x 4y z 14 ; 4、3, 0; 5、'、2 .
2x
从而少
1、解：方程两边对 x求导，得
dy
y dx
ur
该曲线在处的切向量为T
X 1 y 1 故所求的切线方程为
~8~ 10 法平面方程为
dz z - 3x
dx
1
dx
5x 4y dz dx 7x 4z
? ?【4】
1, 1,2
(8,10,7). ........... ??
【5】
8
..
【6】
10 2
该立体
0 即 8x 10y 7z 12……..
【7】
2 2
2z 2x
2、解： 2
6 x z
故所求的体积为V
3、解: 由 lim n u
n
又 |Un| ln(1
z 4、解：
x
2fz 1 x y
2y2 y
2
在xOy面上的投影区域为
2
Dxy: x y 2 .….?【2]
dv dz
(6 3 2)d
..
【7】
lim nln(1
n
If lim ln(1 n
n
n |Un 1 | lim |un
0,知级数
n
n 1
U
发散
【3】
)ln(1 n
n 1
)
lim ln(n
1
1
) 0 ?故所给级数收敛且条件收敛.
【7
】
1
(f1 y f2
y )0
yf1
、、1 x
2
1 y f2
1 [f21 X y
f
22
n
【3
】
y[fn x f12 (
)]
x
(
2
y
2
2
2
y
2
y
)] f1 xyfn
x
~ f22
-【7】 y
5、解：
又」
的方程为
z、a
x y ，
2
在xOy面上的投影区域为 Dxy {(x, y) |
2
J
Z
2 y
a \\ a2 x2
y ,…
3 / 5
z D a2
故dS
adxdy 2
2
a h 0
22
a2 h2
a2
a 1l n(a2 2
2
)
2 a In ..【7】
a
xy x y
0
、【9解: M （x, y, z）为该椭圆上的任一
则点 到原点的距离为
分】 点,
(z x2 令 L(x,y,z)
(x z 1),
Lx 2x Ly 2y
则由
Lz 2z
0，解得x
_3 x2 2 2 ，
z 2 m, 3 ?于是得到两个可能极值点 y
1
73 1 73 1 y/3 1 y/3 t~
Md 2 ' 2 ‘ M2(
_ 2 , 2 ,2 、
又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得3). .
故 dmaX IOM2I 9 5/3, dm, min | OM 1 | .9 5-3. 【9
】 四、【10分】 解：记L与直线段OA所围成的闭区域为 D，则由格林公式，得
x
I2 ? (e sin y m)dx (ex
cosy mx)dy
L OA
xa 而 I1 OA (esin y m)dx (excosy mx)dy
8 0
dx
ma
【】
(ex sin y m)dx (ex
cosy mx)dy II2
L2 1
ma ma .
8
五、a【10n 1 lim』
分】解: lim
n
a
（3,3）
n
n
n 1 ； 3n 1
3，收敛区间为 又当时，级数成为 1 n
x 3
1
-，发散；当x 3时，级数成为
，收【4 1 n 敛.
】
故该幕级数的收敛域为 3,3
【51
】
n
x x 3），则
1 n3n
n
1
s(x)
x ?n1 n 1
乙,(|x|
3n
3
31 x/3
3)
【8】
n 1
3
4 / 5
h
【1】
【7】
5
【10】 【2】
【】
x
于是s(x) °s(x)dx
dx
In 3
In 3 In 3 x , ( 3 x 3)
【10
六、【10分】解：取
有I2 ^2x3dydz
1
而
丨
2x3dydz 1 1
I2 丨
1
2
七、【6分】解:
2 4sin
cos
故tlim3
匚^
t 0
lim
t 0
°3 x 】
1 为 z 0(x2
1)的下侧，记
1所围成的空间闭区域为 ，则由高斯公
式，
2y3dzdx z2 1 dxdy
x2
dv
dz
2y3dzdx
1 dxdy dxdy 3
dxdy 3….…【9】
x2 y2 1
.…【10】
刁
….…【2】
sin
r cos
r 2dr0
0
r3dr
dr
dr
.…【4】
.2 t2f (t2)
3t2
lim f(t2)
--a.【6】
t 0
3
5 / 5
高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】
