m?dvxmg??mg?qvyB?qB?vy?? （3） dtqB??
mdvydt??qvxB
（4） （5）
dvz?0 dt（5）式表明，所考察粒子的速度在z轴上的分量保持不变，即
m 作变量代换，令 其中
把（7）、（8）式代入（3）、（4）式得
vz?uz
（6）
Vx?vx Vy?vy?v0 （7）
v0?mg qB （8）
dVx?qBVy dtdVym??qVxB dtm由（9）、(10) 两式可知，作用于粒子的力F在x和y方向的分量分别为
（9） （10）
Fx?qBVy Fy??qBVx
若用?1表示F的方向与x轴的夹角，?2表示V的方向与x轴的夹角，而V?Vx2?Vy2，则有
tan?1?FyFx??Vx Vy
tan?2?VyVx可见tan?1?tan?2??1，表明F的方向与V的方向垂直，粒子将在F的作用下在Oxy平面内作速率为V的匀速圆周运动．若以R表示圆周的半径，则有
V2 qVB?mRR?mV qB（11）
在匀速圆周运动中，V的大小是不变的，任何时刻V的值也就是t?0时刻V的值，由（7）式和已知条件在t?0时刻有
Vx?uxVy?uy?v0
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故有
2V?ux??uy?v0?
2（12）
以上讨论表明，粒子的运动可分成三部分：
根据（6）式vz?uz，可知粒子沿z轴的分速度大小和方向都保持不变，但对不同的粒子是不同的，属于等离子层中粒子的无规则运动的速度分量．
根据（7）式可得vx?Vx，vy?Vy?v0，表明粒子在Oxy平面内以速率V作圆周运动的同时，又以速
Vy是圆周运动速度的x分量和y分量．Vx、度v0沿y轴运动．圆周运动的轨道半径不仅与粒子的质量有关，
而且与粒子的初速度的x分量ux和y分量uy有关．圆周运动的速度方向是随时间变化的，在圆周运动的一个周期内的平均速度等于0．
沿y轴的速度v0由（8）式给出，其大小是恒定的，与粒子的初速度无关，同种粒子相同，但对带正电的粒子，其方向沿y轴的负方向，对带负电的粒子，其方向沿y轴的正方向．
由此可见，等离子层内电子和质子虽然相当复杂，但每个粒子都具有由（8）式给出的速度v0，其方向垂直于粒子所在处的地球引力，对电子，方向向西，对质子，方向向东．电子、质子这种运动称为漂移运动，对应的速度称为漂移速度．漂移运动是粒子的定向运动，电子、质子的定向运动就形成了环绕地球中心的环形电流．
由（8）式和（1）、（2）两式以及有关数据可得电子和质子的漂移速度分别为
v0e?9.2?10?6m/s v0p?1.7?10?2m/s
（13） （14）
由于电子、质子漂移速度的方相反，电荷异号，它们产生的电流方向相同，均为沿纬度向东.根据电流
密度的定义有
j?nqv0p?v0e （15） 代入有关数据得
j?2.8?10?14A/m2
（16）
??电流密度的方向沿纬度向东.
2．上一小题的讨论表明，粒子在Oxy平面内作圆周运动，运动的速率由（12）式给出，它与粒子的初速度有关．对初速度方向指向地心的粒子，圆周运动的速率为
22 V?ux?v0（17）
因题给出的电子与质子的初速度ux是不同的，电子、质子的质量又是不同的，故电子、质子在Oxy平面内作圆周运动的半径也是不同的．由（1）、（2）、（8）、（11）、（12）各式并代入有关数据可得电子、质子的轨道半径分别为
Re?0.33m Rp?14.8m
（18） （19）
以上的计算表明，虽然粒子具有沿引力方向的初速度，但由于粒子还受到磁场的作用，电子和质子在
17
地球半径方向的最大下降距离分别为2Re?0.66m和2Rp?29.6m，都远小于电离层的厚度，所考察的电子和质子仍在等离子层内运动，不会落到地面上. 六、参考解答：
D?s ll2．?
d1．
附1、2两问的参考解法：
1．求S?经双缝产生的干涉图像的零级亮纹P0?的位置
?，它也就是光源S?与S分别对应的干涉条纹的零级亮纹之间的距离，即 设P0?点的坐标为y0
相似，因D??d， 则
??0?y0? P0?P0??y?y0??从S1作S2P0?的垂线交于H点，三角形OP0P0?与三角形S1HS2由双缝到P0?点的光程差?1?S2P0?S1P0，
?1?dd???y y0DDy （附1）
（附2）
P0? G S ?s S? l ? 2 S1 ? y0z O d H ?1S2 D P0 图1 从S2作S?S1的垂线交于G，S?到双缝的光程差
?2?S?S2?S?S1
三角形SOS?与三角形S1GS2相似，因l??d，则
d?2?S?S2?S?G?GS1??GS1???s
l??（附3）
对满足零光程差条件的P0?而言， 得
dd?s?S?S2?S2P0????S?S1?S1P0????1??2??y??0 ????Dl?y?D??s l（附4）
2．在线光源情况下，可以导出双缝干涉的相邻两亮纹的间距为
?y?D? d（附5）
?s值不同对应着扩展光源中不同位置的线光源．不难证明，它们经双缝产生干涉条纹的间距?y均如
（5）式所示．宽度为w的扩展光源是由一系列?s值不同的、连续分布的、相互独立的线光源构成．因此
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扩展光源在观察屏上产生的干涉图像的强度是由每个线光源产生干涉条纹的强度相加而成．当扩展光源宽度为w时，对于光源最边缘点有
代入（4）式 若
?s?w
Dl（附6）
?y?w （附7）
?y??y
（附8）
则相当于扩展光源最边缘的线光源产生的干涉条纹错开了一个条纹间距．由于扩展光源各部分产生的干涉条纹的光强分布都相同，各套干涉条纹强度相加的结果使屏上各处光强相等，变得一片模糊而无法分辨．由（5）式和（7）式，求得为使条纹能被分辨，扩展光源允许的最大宽度
3． 解法一
如图2所示，aa?是由扩展光源上端边缘发出的平行光，bb?是由扩展光源下端边缘发出的平行光．设ab光线交于M1点，a?b?光线交于M2点．aa?光束中的光线a经过M1M3S1P到达观察屏上P点；光线a?经过M2M4S2P到达观察屏上P点，两相干光波产生干涉，在观察屏上产生一套干涉条纹．同理，平行光束bb?在观察屏上产生另一套干涉条纹．从扩展光源不同部位发出的、倾角在
0和?之间不同角度入射的平行光束，经迈克尔逊测星仪相应的反射镜走过不同路径到双孔，然后在观察屏上产生很多套干涉条纹．这些干涉条纹光强度彼此相加，屏幕上就形成了光强度的分布图像．根据第2问的结果，其清晰度取决于来自扩展光源上下边缘发出的平行光aa?与bb?分别在屏幕上产生两套干涉条纹的相对位置错开的程度．
由对称性考虑，平行光束aa?中两条光线a和a?在观察屏上P0的光程差为0，即平行光aa?产生的那套干涉条纹的零级亮纹就在P0处．现讨论以倾角?斜入射的平行光束bb?通过整个光学装置后，在观察屏上某点发生干涉时的光程差．光束bb?中的光线b入射M1的光线经M3反射到达S1，光线b从M1点算起，所经光程为M1M3?M3S1；光线b?入射M2的光线经M4反射到达S2，光线b?从M2点算起，所经光程为
w?l? da b（附9）
M1 H 双孔屏 ? 观察屏 S1 d yP
M3h M4 P0S2 a?b??
M2图2 M2M4?M4S2．由对称性可得
M1M3?M3S1?M2M4?M4S2
（1）
也就是说从M1和M2算起，光线b和b?到达S1与S2的光程是相等的，但是光线b和b?在到达M1和M2时，二者的相位却不同．由M2作斜入射光线bM1的垂线交H点，M2与H相位相等，因此，斜入射的两条平行光线b和b?到达S1 和S2时的相位差是光程差HM1引起的
???M2M4S2???HM1M3S1???HM1??h? ?1（2）
从扩展光源下边缘发出的平行光束斜入射到测星干涉仪，经双孔后发出的相干光在观察屏上坐标为y（坐标
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原点取在P0上）的P点上引起的光程差
???1??h?????1dy D（3）
其零级亮纹所在位置P0?对应的光程差??0，故P0?的坐标
??h??y0D dD d（4）
这也就是平行光aa?与bb?产生的干涉条纹的零级亮纹（也是两套条纹）错开的距离
?y?h??（5）
因在线光源情况下，可以导出双孔干涉的相邻两亮纹的间距为
?y?D? （6） d当二者错开一个条纹间隔时，即?y??y，代入（6）式（星光波长采用?），得
??
?h
（7）
远处的星体作为扩展光源发出的光经过“测星仪”到达双孔，在屏上观察到干涉条纹的清晰度下降，由小到大调节M1、M2距离h，当屏幕上条纹消失时，记下此时h的值代入（7）式就可确定扩展光源角直径?的大小．
注：实际星体都看作均匀亮度的圆形扩展光源，通过调节h使屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等时，通过数学计算，用迈克尔逊测星仪测量得的星体角直径??1.22 解法二
如图3所示，对M1、M3而言，找出S1对M3的中间像S1??和对M1所成的像S1?以及光线a在M1、M3的反射点F和G．由物像的对称性可知GS1?GS1??，FS1??FS1??，故
M4（未画上一点到等；从光线?h．
FS1??FG?GS1
出）而言，从光线a?即从光线a上一点到S1?和到S1的光程相等．同理可证，从光线b上一点到S1?和到S1的光程相等；对M2、
S2的光程 a b ?F M1 bS1???lbHS1??和到S2的光程相S2?和到b?上一点到S2相等． ?h M3 G S1 S1??图3 20 图4 b???S2
第24届全国中学生物理竞赛复赛试题及详解(WORD版)
