由于隔板与容器内壁无摩擦，故有
由理想气体状态方程，则有 因
由（8）～（15）式可得
pbVbCV?RCV?Vb??pbCV?RCV （11）
??pb? pa（12）
?Va???aRTa? pa?Vb???bRTb? pb（13） （14）
Va??Vb??V0
（15）
1Va??Vb??V0
2Ta??Tb??2T
RCV（16） （17）
在推动活塞压缩气体这一绝热过程中，隔板对a室气体作的功W等于a室中气体内能的增加，即
由（6）、（17）和（18）式得
四、参考解答：
设某一时刻线框在磁场区域的深度为x?x?l1?，速度为v，因线框的一条边切割磁感应线产生的感应电动势为
y R?CV?CVW??2?1?p0V0
?2R???1W???CV?Ta??T?
2（18）
（19）
l1v0Ev?vBl2，它在线框中引起感应电流，感应电流的变化又
引起自感电动势．设线框的电动势和电流的正方向均为顺时针方向，则切割磁感应线产生的电动势Ev与设定的正方
l2?i与设定的正方向相同.因线?t框处于超导状态，电阻R?0，故有
向相反，自感电动势EL??L
x O x EL?Ev??L?i?vBl2?iR?0 ?t（1）
11
即 或 即
可见i与x成线性关系，有
L?i?x?Bl2?0 ?t?tBl2?x??L?i
（2）
（3）
Bl?i??2 ?xLi??（4）
Bl2 （5） x?C
LC为一待定常数，注意到x?0时，i?0，可得C?0，故有
Bl （6） i??2x
L
x?0时i?0，电流为负值表示线框中电流的方向与设定的正方向相反，即在线框进入磁场区域时右侧边的
电流实际流向是向上的．外磁场作用于线框的安培力
2B2l2f?Bl2i??x
L（7）
其大小与线框位移x成正比，方向与位移x相反，具有“弹性力”的性质．下面分两种情形做进一步分析：
（i）线框的初速度v0较小，在安培力的作用下，当它的速度减为0时，整个线框未全部进入磁场区，这时在安培力的继续作用下，线框将反向运动，最后退出磁场区．线框一进一出的运动是一个简谐振动的半个周期内的运动，振动的圆频率
周期
??B2l22 Lm（8）
T?2πLm 2B2l2（9）
振动的振幅可由能量关系求得，令xm表示线框速度减为0时进入磁场区的深度，这时线框的初始动能全部转换为“弹性力”的“弹性势能”，由能量守恒可得
得
故其运动方程为
2Lmv0 xm?2B2l22?211?B2l22mv0???xm 22?L?（10）
（11）
x?v0LmLm?Bl2?sin?t?， t从0到π Bl2BlLm??2（12）
12
半个周期后，线框退出磁场区，将以速度v0向左匀速运动．因为在这种情况下xm的最大值是l1，即
2121B2l2mv0?l12 22L（13）
由此可知，发生第（i）种情况时，v0的值要满足下式
2?2121?B2l2mv0???l1 22?L?
即
v0?Bl1l2mL （14）
(ii) 若线框的初速度v0比较大，整个线框能全部进入磁场区．当线框刚进入磁场区时，其速度仍大于0，这要求v0满足下式
v0?Bl2l1mL （15）
当线框的初速度满足（15）式时，线框能全部进入磁场区，在全部进入磁场区域以前，线框的运动方程与（12）式相同，但位移区间是x?0到x?l1，所以时间间隔与（12）式不同，而是从0到
Bl1l2?Lm??arcsin? t1?2Bl2?Lmv0???（16）
因为线框的总电动势总是为0，所以一旦线框全部进入磁场区域，线框的两条边都切割磁感应线，所产生的电动势之和为 0，因而自感电动势也为0．此后线框中维持有最大的电流im??Bl2l1，磁场对线框L两条边的安培力的合力等于零，线框将在磁场区域匀速前进，运动的速度可由下式决定
即
五、参考解答：
解法一：
1.由于等离子层的厚度远小于地球的半径，故在所考察的等离子区域内的引力场和磁场都可视为匀强场.在该区域内磁场的磁感应强度
2B2l12l2v?v? Lm20212121B2l2mv0?mv?l12 222L（17）
3.0?10?R?T?2.4?10-7T B??0?B0?125?r?引力加速度
3?5（1）
13
9.8?R?g??0?g0?m/s2?0.39m/s2
25?r?考察等离子层中的某一质量为m、电荷量为q、初速度为u的粒子，取粒子所在处为坐标原点O，作一直角坐标系Oxyz，Ox轴指向地球中心，Oz沿磁场方向，如图1所示.该粒子的初速度在坐标系中的三个分量分别为ux、uy和uz.因作用于粒子的引力沿x轴正方向，作用于粒子的洛伦兹力与z轴垂直，故粒子在z轴方向不受力作用，沿z轴的分速度保持不变. 现设想在开始时刻，附加给粒子一沿y轴正方向大小为v0的速度，同时附加给粒子一沿y轴负方向大小为v0的速度，要求与其中一个v0相联系的洛伦兹力正好与粒子所受的地球引力相平衡，即 得
qv0B?mg
x
ux 图1 2（2）
z uz v0 O uy v0 uy?v0 v y
v0?mg qB（3）
用v表示ux与沿y轴的速度uy?v0的合速度（对质子取正号，对电子取负号），有
2?uy?v0 v?ux??2 （4）
这样，所考察的粒子的速度可分为三部分：
沿z轴的分速度uz．其大小和方向都保持不变，但对不同的粒子是不同的，属于等离子层中粒子的无规则运动的速度分量．
沿y轴的速度v0．对带正电的粒子，速度的方向沿y轴的负方向，对带负电的粒子，速度的方向沿y轴的正方向．与这速度联系的洛伦兹力正好和引力抵消，故粒子将以速率v0沿y轴运动．由（3）式可知，
v0的大小是恒定的，与粒子的初速度无关，且对同种的粒子相同．
在Oxy平面内的速度v．与这速度联系的洛伦兹力使粒子在Oxy平面内作速率为v的匀速率圆周运动，若以R表示圆周的半径，则有
得
v2qvB?m
Rmv qBR?（5）
由（4）、（5）式可知，轨道半径不仅与粒子的质量有关，而且与粒子的初速度的x分量ux和y分量uy有关．圆周运动的速度方向是随时间变化的，在圆周运动的一个周期内的平均速度等于0．
由此可见，等离子层内电子和质子的运动虽然相当复杂，但每个粒子都具有由（3）式给出的速度v0，其方向垂直于粒子所在处的地球引力方向，对电子，方向向西，对质子，方向向东．电子、质子这种运动称为漂移运动，对应的速度称为漂移速度．漂移运动是粒子的定向运动，电子、质子的定向运动就形成了
14
环绕地球中心的环形电流．
由（3）式和（1）、（2）两式以及有关数据可得电子和质子的漂移速度分别为
v0e?9.2?10?6m/s
（6）
v0p?1.7?10?2m/s （7）
由于电子、质子漂移速度的方向相反，电荷异号，它们产生的电流方向相同，均为沿纬度向东.根据电流密度的定义有
代入有关数据得
j?nq?v0p?v0e?
（8）
j?2.8?10?14A/m2
（9）
电流密度的方向沿纬度向东.
2．上一小题的讨论表明，粒子在Oxy平面内作圆周运动，运动的速率由（4）式给出，它与粒子的初速度有关．对初速度方向指向地心的粒子，圆周运动的速率为
22 v?ux?v0（10）
由（1）、（2）、（3）、（5）、（10）各式并代入题给的有关数据可得电子、质子的轨道半径分别为
Re?0.33m Rp?14.8m
（11） （12）
以上的计算表明，虽然粒子具有沿引力方向的初速度，但由于粒子还受到磁场的作用，电子和质子在地球半径方向的最大下降距离分别为2Re?0.66m和2Rp?29.6m，都远小于等离子层的厚度，所考察的电子和质子仍在等离子层内运动，不会落到地面上.
解法二：.
1.由于等离子层的厚度远小于地球半径，故在所考察等离子区域内的引力场和磁场都可视为匀强场.在该区域内磁场的磁感应强度
引力加速度
3.0?10?R?B??0?B0?T?2.4?10??T （1）
125?r?3?59.8?R?g??0?g0?m/s2?0.39m/s2
25?r?z vz
O vx
2（2）
考察等离子层中的某一质量为m，电荷量为q、初速度为u的粒子，取粒子所在处为坐标原点O，作一直角坐标系Oxyz，Ox轴指向地球中心，Oz沿磁场方向，如图1所示.该粒子的初速度在坐标系中的三个分量分别为ux、uy和uz. 若以vx、vy、
vy y
图1
vz表示粒子在任意时刻t的速度v在x方向、y方向和z方向的
分速度，则带电粒子在引力和洛伦兹力的共同作用下的运动方程为
x
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第24届全国中学生物理竞赛复赛试题及详解(WORD版)
