河南省济源市第一中学数学旋转几何综合单元复习练习(Word版 含
答案)
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）
1．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，
1AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，3连接PC，且ABE为等边三角形．
AP＝
（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是 ，AP与EC的数量关系是 ．
（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为93，求线段AC的长． 4
【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）【解析】 【分析】
67 7（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；
（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论． 【详解】
解：（1）∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°，AB＝BE，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC， ∴∠CBP＝60°，BC＝BP，
∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE， 即∠ABP＝∠EBC，
∴△ABP≌△EBC（SAS）， ∴AP＝EC；
故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC； （2）成立，理由如下， ∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°，AB＝BE，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC， ∴∠CBP＝60°，BC＝BP，
∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE， 即∠ABP＝∠EBC， ∴△ABP≌△EBC（SAS）， ∴AP＝EC；
（3）过点C作CD⊥m于D，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC， ∴△PBC是等边三角形， ∴
3293PC＝，
44∴PC＝3，
设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t， ∴AC＝2t， ∵m∥n，
∴∠CAD＝∠AEB＝60°， ∴AD＝
1AC＝t，CD＝3AD＝3t， 2∵PD2+CD2＝PC2， ∴（2t）2+3t2＝9， ∴t＝37（负值舍去）， 767． 7∴AC＝2t＝【点睛】
本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾
股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解．
2．综合与探究：
如图1，RtAOB的直角顶点O在坐标原点，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，OA?4，OB?2，将线段AB绕点B顺时针旋转90?得到线段BC，过点C作
CD?x轴于点D，抛物线y?ax2?3x?c经过点C，与y轴交于点E(0,2)，直线AC与x轴交于点H．
（1）求点C的坐标及抛物线的表达式；
（2）如图2，已知点G是线段AH上的一个动点，过点G作AH的垂线交抛物线于点F（点F在第一象限），设点G的横坐标为m． ①点G的纵坐标用含m的代数式表示为________；
②如图3，当直线FG经过点B时，求点F的坐标，判断四边形ABCF的形状并证明结论；
③在②的前提下，连接FH，点N是坐标平面内的点，若以F，H，N为顶点的三角形与FHC全等，请直接写出点N的坐标．
121x?3x?2；（2）①?m?4；②点F23的坐标为(4,6)，四边形ABCF为正方形，证明见解析；③点N的坐标为(10,4)或
【答案】（1）点C的坐标为(6,2)，y???4226??384??,?或?,?． ?55??55?【解析】 【分析】
（1）根据已知条件与旋转的性质证明ABO≌BCD，根据全等三角形的性质得出点C的坐标，结合点E的坐标，根据待定系数法求出抛物线的表达式；
（2）①设直线AC的表达式为y?kx?b，由点A、C的坐标求出直线AC的表达式，进而得解；
②过点G作GM?x轴于点M，过点F作FP?y轴，垂足为点P，PF的延长线与
DC的延长线交于点Q，根据等腰三角形三线合一得出AG?CG，结合①由平行线分线
段成比例得出点G的坐标，根据待定系数法求出直线BG的表达式，结合抛物线的表达式
求出点F；利用勾股定理求出AB?BC?CF?FA，结合?ABC?90?可得出结论； ③根据直线AC的表达式求出点H的坐标，设点N坐标为(s,t)，根据勾股定理分别求出
FC2，CH2，FN2，NH2，然后分两种情况考虑：若△FHC≌△FHN，则FN＝FC，NH
＝CH，若△FHC≌△HFN，则FN＝CH，NH＝FC，分别列式求解即可． 【详解】 解：（1）
OA?4，OB?2，
?点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(2,0)，
线段AB绕点B顺时针旋转90?得到线段BC， ?AB?BC，?ABC?90?，
??ABO??DBC?90?，
在RtAOB中，??ABO??OAB?90?，
??OAB=?DBC，
CD?x轴于点D，
??BDC?90?， ??AOB??BDC?90?．
AB?BC，
?△ABO≌△BCD，
?CD?OB?2，BD?OA?4， ?OB?BD?6，
?点C的坐标为(6,2)，
∵抛物线y?ax?3x?c的图象经过点C，与y轴交于点E(0,2)，
2?c?2??， 36a?18?c?2?1??a??解得，?2，
??c?2∴抛物线的表达式为y??12x?3x?2； 2（2）①设直线AC的表达式为y?kx?b， ∵直线AC经过点C(6,2)，A(0,4)，
?6k?b?2∴?，
b?4?1?1?k??解得，?3，即y??x?4，
3?b?4?
∴点G的纵坐标用含m的代数式表示为：?m?4，
1313②过点G作GM?x轴于点M，
故答案为：?m?4．
?OM?m，GM??m?4，
13AB?BC，BG?AC，
?AG?CG，
?AOB??GMH??CDH?90?，
?OAGM?CD，
OMAG??1， MDGC1?OM?MD?OD?3，
213?点G为(3,3)，
?m?3，?m?4?3，
?2k?b?0设直线BG的表达式为y?kx?b，将G(3,3)和B(2,0)代入表达式得，?，
3k?b?3??k?3??，即表达式为y?3x?6， b??6?点F为直线BG和抛物线的交点，
?得?12x?3x?2?3x?6， 2?x1?4，x2??4（舍去）， ?点F的坐标为(4,6)，
过点F作FP?y轴，垂足为点P，PF的延长线与DC的延长线交于点Q，
?PF?4，AP?2，FQ?2，CQ?4，
在Rt△AFP中和Rt△FCQ中，根据勾股定理，得AF?FC?25， 同理可得AB?BC?25，
?AB?BC?CF?FA， ?四边形ABCF为菱形，
?ABC?90?， ?菱形ABCF为正方形；
河南省济源市第一中学数学旋转几何综合单元复习练习(Word版 含答案)
