??(x????(x???1313,y?)?(?x?,?y??022?31?x?y?12222，即?. ∴b?(,)或
22?1232132?x?3y)?(y?)?(x?)2?(y?)2222(?131,)，∴S△AOB=|a?b||a?b|=1。 2222．（2004全国）设O点在?ABC内部，且有OA?2OB?3OC?0，则?ABC的面积与
?AOC的面积的比为（ ）
A. 2
3B.
2 C. 3
5D.
3(1)(2)
BA解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，则
OA?OC?2OD2(OB?OC)?4OEDOEC由（1）（2）得，OA?2OB?3OC?2(OD?2OE)?0，即OD与OE共线， 且|OD|?2|OE|
3、（2006陕西赛区预赛）如图1，设P为△ABC内一点， 且AP??S?AEC3S3?2?,??ABC??3， 故选C。 S?AOC2S?AOC221AB?AC， 551211 B. C. D. 5543则△ABP的面积与△ABC的面积之比为 ( A ) A.
4．(2005年浙江)已知a，b是两个相互垂直的单位向量，而|c|?13，c?a?3，
c?b?4。则对于任意实数t1,t2，|c?t1a?t2b|的最小值是 （ ）
(A) 5 (B) 7 (C) 12 (D) 13
【解】：由条件可得 c?t1a?t2b22?c?6t1?8t2?t1?t2
222222 ?169?(t1?3)?(t2?4)?25?144?(t1?3)?(t2?4)?144 当t1?3,t2?4时，c?t1a?t2b2?144。 ?选 【 C 】
5.(2005全国)空间四点A、B、C、D满足|AB|?3,|BC|?7,|CD|?11,|DA|?9,则AC?BD的取值 （ ）
A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个
?解：注意到3?11?1130?7?9,由于AB?BC?CD?DA?0,则
2222DA2?DA=
2(AB?BC?CD)2?AB2?BC2?CD2?2(AB?BC?BC?CD?CD?AB)?AB2? BC2?CD2?2(BC?AB?BC?BC?CD?CD?AB)?AB2?BC2?CD2?2(AB?
2BC)?(BC?CD),即2AC?BD?AD2?BC2?AB2?CD2?0,?AC?BD只有一个值得
0，故选A。
6. （2006吉林预赛）已知P为△ABC内一点，且满足3PA?4PB?5PC?0，那么S△PAB：
S△PBC：S△PCA = 。
7．（2006年南昌市）等腰直角三角形的直角顶点A对应的向量为A?1,0?,重心G对应的向量为G?2,0?,则三角形另二个顶点B、C对应的向量为_____??53?,??_________. 22??8. （2006年浙江省预赛）手表的表面在一平面上。整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为
2的圆周上。从整点i到整点（i＋1）的向量记作titi?1，则2t1t2?t2t3?t2t3?t3t4???t12t1?t1t2＝ 63?9 。
解：连接相邻刻度的线段构成半径为
2的圆内接正12边形。相邻两个边向量的夹角22?2?3?sin ?2。 则2124即为正12边形外角，为30度。各边向量的长为2?2?2?3???cos??22?33。共有12个相等项。所以求得数量积之t1t2?t2t3?2?424?6??和为 63?9。
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高中数学竞赛专题讲座 - 三角函数与向量
