方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1:3；将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1:4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）
A
C E
{}本题考查了解直角三角形的相关知识．根据条件AB=200和坡度比可以求出AE的长度，进而知道线段CE的长度，再根据第二个坡度在Rt△CDE中利用∠D的三角函数值求CD的长度． {答案}解：在Rt△ABE中，∵tan∠ABE=1:3，∴∠ABE=30°．∵AB=200，∴AE=100．∵AC=20，∴CE=100－20=80．
在Rt△CDE中，∵tan∠D=1:4，
B 图2
D
17CE17?，∴．
17CD17∴CD=8017(米)．
答：斜坡CD的长是8017米．
∴sin∠D=
{分值}6
{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:解直角三角形的应用－坡度} {考点:特殊角的三角函数值} {类别:常考题} {难度:2-简单}
{题目}21．（2019年山东潍坊T21）如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2，3，4，5．小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一次停止后，小明将指针所指数字记录如下：
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次
3 5 2 3 3 4 3 5 数字 （1）求前8次的指针所指数字的平均数．
（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，说明理由．（指针指向盘面等分线时为无效转次．）
{}本题考查了统计中的加权平均数与概率．（1）利用加权平均数公式直接计算即可；（2）前8次总和为28，若要10次的平均数在3.3与3.5之间，则需要后两次的和在5和7之间，再画出树状图或列表求解． {答案}解：（1）
3?4?5?2?2?4=3.5．
8答：前8次的指针所指数字的平均数为3.5． （2）能发生．
若这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5，则所指数字之和应不小于33，且不大于35．而前8次的所指数字之和为28，所以最后两次的所指数字之和应不小于5，且不大于7．
第9次和第10次指针所指数字如下表所示： 第10次 2 3 4 5 第9次 2 (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 第9次和第10次指针所指数字树状图如下：
一共有16种等可能结果，其中指针所指数字之和不小于5，且不大于7的有9种结果，其概率为：P=
9． 169． 16 因此，这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5”的概率为{分值}9
{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {考点:加权平均数（频数为权重）} {考点:两步事件放回} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}
{题目}22．（2019年山东潍坊T22）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M． （1）求证：△AHF为等腰直角三角形． （2）若AB=3，EC=5，求EM的长．
{}本题综合考查了正方形和三角形的有关性质，能在正方形背景中识别出三角形全等和三角形相似是解决本问题的关键．第（1）问证明△AHF是等腰直角三角形，只需要证明线段HA=HF，∠AHG=90°即可．第（2）问容易识别出△EFM∽△ADM，根据对应线段成比例就可以求出线段EM的长度． {答案}解：（1）证明：∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形， ∴AD∥CG，AH∥DG，
∴四边形ADGH为平行四边形，AD=HG．
∵AD=BC，∴BC=HG，∴BC+CH=HG+CH，即BH=CG． ∴GF=BH．
在△ABH和△HGF中，
AB=HG，∠B=∠HGF，BH =GF， ∴△ABH≌△HGF．
∴∠BAH=∠GHF，AH=HF．
∵∠BAH+∠BHA=90°， ∴∠GHF+∠BHA=90°． ∴∠AHF=90°．∴△AHF为等腰直角三角形． （2）∵AB=3，EC=5，
∴AD=CD=3，CE=EF=5．∴DE=2． ∵AD∥EF，∴∴EM=
DMAD3??． EMEF555DE=． 84{分值}10
{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {考点:正方形的性质}
{考点:两组对边分别平行的四边形是平行四边形} {考点:直角三角形两锐角互余} {考点:全等三角形的判定SAS} {考点:由平行判定相似} {考点:等腰直角三角形} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}
{题目}23．（2019年山东潍坊T23）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克．设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．）
{}本题考查了分式方程与二次函数的实际应用．（1）解题的关键在于找到等量关系，根据题目中给出的条件，去年和今年的产量之间的关系，去年和今年价格之间的关系，去年和今年销售金额之间的关系，设出未知数，就可以列出方程；（2）属于常见的二次函数利润问题，能根据价格与销售量之间的关系列出函数关系式，根据二次函数关系式就可以求出函数的最大值． {答案}解：（1）设今年这种水果每千克的平均批发价为x元，由题意，得
100000(1?20%)100000=1000． ?xx?1解之，得x1=24，x2=－5(舍去)．
答：今年这种水果每千克的平均批发价为24元． （2）设每千克的平均销售价为m元，由题意，得 w=(m－24)(300+180×
41?m)=－60(m－35)2+7260． 3∵－60＜0，∴当m=35时，w取得最大值为7260．
答：当每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元． {分值}10
{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数} {考点:其他分式方程的应用} {考点:商品利润问题} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}
{题目}24．（2019年山东潍坊T24）如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线l上，∠BAD=60°，以
点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′．B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN． （1）当MN∥B′D′时，求α的大小．
（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．
{}本题考查了菱形的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质，旋转等知识．
（1）由MN∥B′D′易得MB′=ND′，再通过证明AB′M≌△AD′N得∠B′AM＝∠D′AN，即可解决问题；（2）首先根据旋转证明出△AB′E≌△AD′G，再进一步证明△AHE≌△AHG，得EH=GH，B′D′=2，即可菱形ABCD的周长． {答案}解：（1）∵MN∥B′D′，∴
MB?C?B?． ?ND?C?D?又∵C′B′=C′D′，∴MB′=ND′． 在AB′M和△AD′N中，
∴AB′=AD′，∠AB′M=∠AD′N， B′M=D′N， ∴△AB′M≌△AD′N，∴∠B′AM=∠D′AN． 又∵∠D′AN=α，∴∠B′AM=α． ∴∠B′AM=∠BAB′=
11∠BAC=∠BAD=15°． 24即α=15°．
（2）在△AB′E和△AD′G中，
∠AB′E=∠AD′G，∠EAB′=∠GAD′，AB′=AD′， ∴△AB′E≌△AD′G，∴EB′=GD′，AE=AG． 在△AHE和△AHG中，
AE=AG，∠EAH=∠GAH，AH=AH， ∴△AHE≌△AHG，∴EH＝GH． ∵△HEB′的周长为2， ∴EH+EB′+HB′=2， ∴GH+GD′+B′H=2， ∴B′D′=BD=2，
∴菱形ABCD的周长为8． {分值}13
{章节:[1-18-2-2]菱形} {考点:菱形的性质}
{考点:全等三角形的判定SAS}
{考点:全等三角形的判定ASA,AAS} {考点:平行线分线段成比例} {考点:旋转的性质} {考点:几何综合} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}
{题目}25．（2019年山东潍坊T25）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），
点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点． （1）求圆心M的坐标；
（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式； （3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF=45时，求点P的坐标．
{}本题综合考查了在坐标系中解决抛物线和圆的有关问题．第（1）问因为点M是AC的中点，容易得出点M的坐标；第（2）问的关键在直线AD和圆相切，相切就有直径垂直于切线，根据相似三角形的知识可求出线段OD的长度，进而求出点D 点坐标；第（3）问中，抛物线的顶点是M，可以根据顶点式求出抛物线的式．设出P点坐标，再利用Rt△EHP∽Rt△DOA构建一元二次方程模型求解．
{答案}解：（1）∵AC是△ABO的中线，∴点C的坐标为（0，2）． ∵∠AOC=90°，∴线段AC是⊙M的直径， ∴点M为线段AC的中点， ∴圆心M的坐标为（2，1）． （2）∵AD与⊙M相切于点A，
∴AC⊥AD，∴Rt△AOC∽Rt△DOA， ∴
OCOA1??． OAOD2∵OA=4，∴OD=8．
∴点D的坐标为（0，－8）．
?0?4k?b,设直线AD的函数表达式为y=kx+b，可得?
?8?b.?∴k=2，b=－8．
∴直线AD的函数表达式为y=2x－8．
（3）设抛物线为y=a(x－2)2+1，且过点（0，4）， ∴4=a(0－2)2+1，∴a=
3． 4所以，抛物线的关系式为y=设点P(m，
32
x－3x +4． 43 2
m－3m+4)，则点E(m，2m2－8)， 4
2019年山东潍坊中考数学试题含详解
