高三数学一轮复习优质教案5：2.1 函数及其表示教学设计

由天下分享时间：2025/1/20 18:55:34 加入收藏我要投稿点赞

高三数学一轮复习教案

2.1 函数及其表示

考情分析考点新知 ① 本节是函数部分的起始部分，以考查函数概念、三要素及表示法为主，同时考查学生在实际问题中的建模能力. ② 本节内容曾以多种题型出现在高考试题中，要求相对较低，但很重要，特别是函数的解析式仍会是2015年高考的重要题型． .

1. 函数的定义

一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的一个元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B 的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A．

2. 函数的三要素

函数的构成三要素为定义域、值域、对应法则．由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．

3. 函数的表示方法

表示函数的常用方法有列表法、解析法、图象法． 4. 分段函数

在定义域内不同部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集，值域是各段上函数值集合的并集．

5. 映射的概念

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．

『备课札记』

① 理解函数的概念，了解构成函数的要素. ② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. ③ 了解简单的分段函数，并能简单应用高三数学一轮复习教案

题型1 函数的概念

例1 判断下列对应是否是从集合A到集合B的函数． (1) A＝B＝N*，对应法则f：x→y＝|x－3|，x∈A，y∈B；

(2) A＝『0，＋∞)，B＝R，对应法则f：x→y，这里y2＝x，x∈A，y∈B； (3) A＝『1，8』，B＝『1，3』，对应法则f：x→y，这里y3＝x，x∈A，y∈B； (4) A＝{(x，y)|x、y∈R}，B＝R，对应法则：对任意(x，y)∈A，(x，y)→z＝x＋3y，z∈B.

『解析』(1) 对于A中的元素3，在f的作用下得到0，但0不属于B，即3在B中没有元素与之对应，所以不是函数．

(2) 集合A中的一个正数在集合B中有两个元素与之对应，所以不是函数．

(3) 由y3＝x，即y＝x，因为A＝『1，8』，B＝『1，3』，对应法则f：x→y，符合函数对应．

(4) 由于集合A不是数集，所以此对应法则不是函数．备选变式（教师专享）

下列说法正确的是______________．(填序号) ① 函数是其定义域到值域的映射；

② 设A＝B＝R，对应法则f：x→y＝x－2＋1－x，x∈A，y∈B，满足条件的对应法则f构成从集合A到集合B的函数；

③ 函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点有且只有1个；

④ 映射f：{1，2，3}→{1，2，3，4}满足f(x)＝x，则这样的映射f共有1个．『答案』①④

『解析』②中满足y＝x－2＋1－x的x值不存在，故对应法则f不能构成从集合A到集合B的函数；③中函数y＝f(x)的定义域中若不含x＝1的值，则其图象与直线x＝1没有交点．

题型2 函数的解析式

例2 求下列各题中的函数f(x)的解析式． (1) 已知f(x＋2)＝x＋4x，求f(x)；

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(2) 已知f??x＋1?＝lgx，求f(x)；

1?(3) 已知函数y＝f(x)满足2f(x)＋f??x?＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)； (4) 已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．『解析』(1) (解法1)设t＝x＋2，则x＝t－2，即x＝(t－2)2， ∴ f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＝t2－4， ∴ f(x)＝x2－4(x≥2)．

(解法2)∵ f(x＋2)＝(x＋2)2－4， ∴ f(x)＝x2－4(x≥2)． 22(2) 设t＝＋1，则x＝，

xt－1

∴ f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x>1)．

t－1x－11?

(3) 由2f(x)＋f??x?＝2x，① 11

将x换成，则换成x，得

xx1?2

x)＝，② (2f?＋f?x?x

①×2－②，得3f(x)＝4x－，得

x42f(x)＝x－.

33x

(4) ∵ f(x)是二次函数，∴ 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1. 由f(x＋1)＝f(x)＋2x，得