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引申3：“复合”街区情形，从A到B的最短路径条数是多少？。
引申4：“变异”街区情形。
BNMA如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道．现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有 种不同的走法．
引申5： 空间情形。
BEFAMN
（1）在一座空间立体城市中，横纵竖街道构成了长方体形网格，若某人在4×3×5长方体一顶点A处，沿网格中的街道从点A到点B的不同路径中，最短路径的条数是多少？ （2）在空间坐标系中，第一卦限的坐标网格同样组成了（1）中的“街道”，任选三个整数格点，并求从O点出发到该点最短路径条数？
（3）给出（2）的一般结论——即从原点O(0,0,0)到整格点P(m,n,r)的最短路径条数？考察你得到的结果，并与(a?b?c)k的展开式相联系,看看你能说明什么？
? 类比
问题4：在已知四面体内部有100个点，其中无三点共线，也无四点共面，以这些点及四面体的四个顶点为顶点构造新四面体，所得的那些四面体中任意两个之间都无公共体积，则一共可以构造多少个新四面体？
问题5：球的两条弦长度不等，但长度均为确定值，我们把这两条弦的中点分别叫“小可”、“小爱”，若两条弦的端点在球面上作布朗运动，问“小可”与“小爱”是否有相遇的机会？
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? 化归与类比
问题6：意大利匹萨饼店的伙计喜欢将饼切成形状各异的一块块。他们发现，每一个确定的刀数，都可以有一个最多的块数。例如，切一刀最多切成2块、切2刀最多切成4块。问切5刀最多可切几块？（n是正整数）
引申１：平面内n个圆，最多将此平面分割成多少个区域？
引申２：空间n个平面，最多可将空间分割成多少个部分？
x2y2问题7：对于椭圆E：2+2=1（a＞b＞0），（焦点为F1与F2 ），研究以下问题，并在双曲线K：
abx2y2=1（a，b＞0），（焦点为F1与F2 ）中提出类似问题。 ?a2b2（1）过左焦点F1的弦AB，试求三角形ABF2的周长；
（2）P是E上的一个不属于长轴的点，试确定△PF1F2的右（左）旁切圆与长轴所在直线的切点位置；
（3）A是E内的一个定点，试确定E上一个点P，使|PA|+|P F2|最小；
（4）P是E上的一个点，且P对两个焦点的视角为θ，试确定△PF1F2的面积；
（5）P是E上的点，自焦点F1或F2引△PF1F2的P角的外角平分线的垂线，垂足为Q，求
Q的轨迹方程；
（6）椭圆E的物理光学性质。
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05思路生成～联想
一、方法模型
基于问题情景的联想→基于可能性的选择→构建方法→成功→问题解决 失败，新的循环
二、典型示例
问题1：已知实数x、y满足方程x+y－4x+1=0. 求
（1）
2
2
y的最大值和最小值； x2
2
（2）y－x的最小值； （3）x+y的值域.
问题2：求函数f(x,y)?x2?y2?(x?1)2?y2?x2?(y?1)2?(x?1)2?(y?1)2 的最小值.
引申1: 在平面上找点，使之到一个凸四边形的各个顶点距离之和最小.
引申2: 在空间找点,使之到一个正方体的八个顶点距离之和最小.
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引申3: 在平面上找点，使之到一个三角形的各个顶点距离之和最小.
费马“三村短路”问题——如何用一组公路将已知的不在一直线上的三个村庄连接起来，使公路的总长度最短？这是数学史上的一个著名问题，据说是法国大数学家费马向伽利略的高足、意大利物理学家托里拆利提出来的，用数学语言来表达，就是：
已知平面上的不共线的三点A，B，C，试求一点P，使得PA+PB+PC最小. 关于费马“三村短路”问题主要结论有：
（1）若三角形ABC的各个内角均小于120?,则在其内部必有满足 ?APB??BPC??CPA?120?的点P，使得PA+PB+PC最小；
（2）若三角形ABC中，?A?120?，则当P与A重合时，PA+PB+PC=AB+AC最小. 我们把这样的点称为三角形的“最小点”.
021222n2n)?(Cn)?(Cn)?L?(Cn)?C2问题3：求证：(Cnn．
问题4：若对于任意的x?R，都有acosx?bsinx?1，则（ ） A.
问题5： 对于任意的a,b,c?R+，有a2?b2?b2?c2?c2?a2?2(a?b?c)。
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1111 B. ??1??1 C. a2?b2?1 D. a2?b2?1 2222abab______________________________________________________________________________________________________________
06 解题思路生成～特殊化
一、方法模型
初始问题→特殊化或具体化→获得结论或猜想或方法→问题解决 初始问题求解方案 二、典型示例
问题1: “三人行，必有吾师焉。”问百人中吾师至少几人？
问题2: 如果奇函数f(x)在区间[ 3 ， 7 ]上是增函数，且最小值是5，则f(x)在区间[?7，?3]上是 ( )
A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5
问题3: 已知a、b?R下列命题中正确的是 （ ）
(A)若(C)若
D. 减函数且最大值为-5
a?b, 则a2?b2 (B) 若a?b,则a2?b2 a?b, 则
1111 (D) 若a?b,则??a2b2a2b2
问题4: 互不相等的三个正数a,b,c成等差数列， x是a,b的等比中项，y是b,c的等比中项，那么x2,b2,y2三个数（ ）
（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列 （C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列
问题5: 若曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)?0的解，则下列结论中正确的是
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张雪明老师自主招生解题思路（上午）
