专题七 选修4系列
第1讲 坐标系与参数方程
「考情研析」 高考中，该部分内容常以直线、圆锥曲线(主要是圆、椭圆)几何元素为载体，主要考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程与直角坐标方程互化；同时进一步考查利用相应方程形式或几何意义解决元素位置关系、距离、面积等综合问题．该部分试题难度一般不大.
核心知识回顾
1.极坐标与直角坐标的互化公式
设点P的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则
(ρ，θ)?(x，y) ?x＝ρcosθ，? ?y＝ρsinθ2．常见圆的极坐标方程
(x，y)?(ρ，θ) ρ2＝x2＋y2，???ytanθ＝?x?x≠0?? □ππ?02ρ＝2acosθ??－2≤θ≤2?. (2)圆心为M(a,0)，半径为a的圆：□??π??03ρ＝2asinθ(0≤θ≤π)． (3)圆心为M?a，2?，半径为a的圆：□??
(1)圆心在极点，半径为r的圆：01ρ＝r(0≤θ<2π)． 3．常见直线的极坐标方程
□π??π02(2)直线过点M(a,0)，且垂直于极轴：□ρcosθ＝a?－2<θ<2?.
??π??03ρsinθ＝a(0<θ<π)． (3)直线过点M?a，2?，且平行于极轴：□??
(1)直线过极点，直线的倾斜角为α：01θ＝α(ρ∈R)． 4．直线、圆与椭圆的参数方程
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考向1 极坐标方程及应用
例1 (2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
π
(1)当θ0＝3时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程． 解 (1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，
ππ
当θ0＝3时，ρ0＝4sin3＝23.
π
由已知得|OP|＝|OA|cos＝2.
3
设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．
?π?
在Rt△OPQ中，ρcos?θ－3?＝|OP|＝2.
??π???π?经检验，点P?2，3?在曲线ρcos?θ－3?＝2上，
????
?π?所以，l的极坐标方程为ρcos?θ－3?＝2.
??
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，
即ρ＝4cosθ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM， ?ππ?
所以θ的取值范围是?4，2?.
??
?ππ?
所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈?4，2?.
??
直角坐标与极坐标方程的互化及应用
(1)直角坐标方程化极坐标方程时，通常可以直接将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可．
(2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsinθ，ρcosθ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等．
(2019·武汉市高三调研)在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以xπ21
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1：ρsin(θ＋4)＝2，C2：ρ2＝.
3－4sin2θ
(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；
(2)曲线C1和C2的交点为M，N，求以MN为直径的圆与y轴的交点坐标． π2
解 (1)由ρsin(θ＋4)＝2得
ππ2
ρ(sinθcos4＋cosθsin4)＝2， ?ρsinθ＝y，将?代入上式得x＋y＝1. ?ρcosθ＝x即C1的直角坐标方程为x＋y＝1，
122
同理，由ρ2＝2可得3x－y＝1， 3－4sinθ∴C2的直角坐标方程为3x2－y2＝1. (2)∵PM⊥PN，先求以MN为直径的圆， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
?3x2－y2＝1，由?得3x2－(1－x)2＝1，即x2＋x－1＝0. ?x＋y＝1，
2020届二轮复习(理) 专题七 第1讲 坐标系与参数方程 学案
