江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（178）（无
答案）
第一试
一、填空题（每小题8分，共64分）
1. 袋内有8只白球和2只红球，每次从中随机取出一只球，然后放回1只白球.则第四次恰取完所有红球的概率为. 2. 已知函数f(x)?实数k的取值范围为.
3. 在正四棱锥P?ABCD中，已知AB?3，且侧面PAD与侧面CPD所成二面角大小为
x?2?k，且存在a、b(a?b)使f(x)在?a,b?上的值域为?a,b?.则
3?.则该四棱锥外接球的体积为. 24. 函数f(x)?x2?4?x2?4x?5的最小值为.
5. 方程4sinx(1?cosx)?33的解集为.
6. 记?x?表示不超过实数x的最大整数，ak???k中，不同的整数的个数为.
?2014?(k?1,2,L,100)则在这100个整数??7. 设A、B是集合?a,b,c,d,e?的两个不同子集，使得集合A不是集合B的子集，B也不是集合A的子集.则不同的有序集合对(A,B)的组数为.
mx6?nx5?4x4?(mx2?nx)(x2?1)?4x2?48.函数y?的最小值为1，最大值为6.则6x?1m?n?.
二、解答题（共56分）
?2x3?1??1,x??,1?;?x?1??2?9.（16分）已知函数f(x)??记函数f(x)的值域为A，且实数
??13x?7,x??0,1?.??6?2???3a、b、c?A.证明：abc?4?ab?bc?ca.
10.（20分）已知点M(?1,0),N(1,0)，?MNQ的周长为6，动点Q的轨迹为曲线C，P是圆x?y?4上任一点（不在x轴上），PA、PB分别与曲线C切于点A、B.求?OAB面积的最大值（O为坐标原点）.
22nan?2(n?1)2r(n?1,2,L).证明：11.（20分）设r为正整数，数列?an?满足a1?1,an?1?n?2对任意正整数n,an均为正整数.
加 试
0一、（40分）如图1，在等腰Rt?ABC中，?C?90，M为斜边AB的中点，N为直角边ACMH. 的中点，联结BN，过点C作CH?BN，垂足为H.证明：CH?AMg
2
二、（40分）对一堆100粒的石子进行如下操作：每次任选石子数大于1的一堆任意分成不空的两堆，直到每堆1粒（100堆）为止.证明：
（1）无论如何操作，必有某个时刻存在20堆，其石子总数为60； （2）可以进行适当地操作使得任何时刻不存在19堆，其石子总数为60.
三、（50分）记?x?表示不超过实数x的最大整数.证明：
（1）方程?x??x?x??x?的解为整数；
2332（2）方程?x??x?x??x?有非整数解.
2332
x5?a四、（50分）求所有正整数a、b使得多项式f(x)?在某三个相继整数处均取整数值.
b
江西省上饶县中学2020学年高中数学奥林匹克竞赛训练题(178)（无答案）
