一元一次方程的应用
1、列方程解应用题的基本步骤和方法：
步骤 审题 要求 读懂题目、弄清题意、找出能够表示应用题全部含义的相等关系 ①设未知数 设元 ②把各个量用含未知数的代数式表示出来 列方程 根据等量关系列出方程 解方程 解这个方程，求出未知数的值 注意事项 审题是分析解题的过程，解答过程中不用体现出来 ①设未知数一般是问什么，就直接设什么为x，即直接设元 ②直接设元有困难时，可以间接设元 避免列出恒等式 如果是间接设元，求出的未知数还需要利用其他算式得到所求的量 把方程的解代入方程检验，或根据实际问题进行检验 列一元一次方程解应用题检验的步骤在解答过程中不用写出来 方程的解要符合实际问题 这一步在列方程解应用题中必不可少，是一种规范要求 检验 作答 注意：
写出答案，作出结论 （1）初中列方程解应用题时，怎么列简单就怎么列（即所列的每一个方程都直接的表示题意），不用担心未知数过多，简化审题和列方程的步骤，把难度转移到解方程的步骤上．
（2）解方程的步骤不用写出，直接写结果即可．
（3）设未知数时，要标明单位，在列方程时，如果题中数据的单位不统一，必须把单位换算成统一单位，尤其是行程问题里需要注意这个问题．
2、设未知数的方法：
设未知数的方法一般来讲，有以下几种：
（1）“直接设元”：题目里要求的未知量是什么，就把它设为未知数，多适用于要求的未知数只有一个的情况；
（2）“间接设元”：有些应用题，若直接设未知数很难列出方程，或者所列的方程比较复杂，可以选择间接设未知数，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用．
（3）“辅助设元”：有些应用题不仅要直接设未知数，而且要增加辅助未知数，但这些辅助未知数本身并不需要求出，它们的作用只是为了帮助列方程，同时为了求出真正的未知量，可以在解题时消去．
（4）“部分设元”与“整体设元”转换：当整体设元有困难时，可以考虑设其一部分为未知数，反之亦然，如：数字问题．
模块一：数字问题
（1）多位数字的表示方法：
一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b，（其中a、b均为整数，1?a?9，0?b?9）则这个两位数可以表示为10a?b．
一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，（其中均为整数，且1?a?9，0?b?9，0?c?9）则这个三位数表示为：100a?10b?c．
（2）奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k，奇数可表示为2k?1（其中k表示整数）．
（3）三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a，则这三个相邻的整数可表示为a?1,a,a?1．
【例1】 一次数学测验中，小明认为自己可以得满分，不料卷子发下来一看得了96分，原来是由于粗心把
一个题目的答案十位与个位数字写颠倒了，结果自己的答案比正确答案大了36，而正确答案的个位数字是十位数字的2倍．正确答案是多少?
【解析】此题中数据96与列方程无关．与列方程有关的量就是小明粗心后所涉及的量．
设正确答案的十位数字为x，则个位数字为2x， 依题意，得(10?2x?x)?(10x?2x)?36，解之得x?4． 于是2x?8．所以正确答案应为48．
【答案】48
【例2】 某年份的号码是一个四位数，它的千位数字是2，如果把2移到个位上去，那么所得的新四位数比
原四位数的2倍少6，求这个年份．
【解析】设这个年份的百位数字、十位数字、个位数字组成的三位数为x，则这个四位数字可以表示为
2?1000?x，根据题意可列方程：10x?2?2?2?1000?x??6，解得x?499
【答案】2499年
【例3】 有一个四位数，它的个位数字是8，如果将个位数字8调到千位上，则这个数就增加117，求这个
四位数．
【解析】设由原数中的千位数字、百位数字和十位数字组成的三位数为x，则这个四位数可以表示为10x?8，
则调换后的新数可以表示为8000?x，根据题意可列方程10x?8?8000?x?117，解得x?875，所以这个四位数为8758
【答案】8758
【例4】 五一放假，小明的爸爸开车带着小明和妈妈去郊游，他们在公路上匀速行驶，下表是小明每隔1
小时看到的路边里程碑上数的信息．你能确定小明在7:00时看到的里程碑上的数是多少吗？
时间 7:00 8:00 9:00 里程碑上数的特征 是一个两位数，它的个位数字与十位数字之和是7 十位数字和个位数字与7:00时所看到的正好颠倒了 比7:00时看到的两位数中间多一个0 【解析】设小明在7:00时看到的两位数的十位数字是x，则个位数字是7?x，根据题意可列方程：
??100x??7?x??????10?7?x??x?????10?7?x??x?????100x??7?x???，解得x?1，所以7?x?6．
【答案】小明在7:00时看到的两位数是16．
模块二：日历问题
（1）、在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7．
（2）、日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值时24，最大值时72，且这个和一定是3的倍数． （3）、一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是31天，四、六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围的．
【例5】 下表是2011年12月的日历表，请解答问题：在表中用形如下图的平行四边形框框出4个数，
（1）若框出的4个数的和为74，请你通过列方程的办法，求出它分别是哪4天？ （2）框出的4个数的和可能是26吗？为什么？
【解析】（1）设第一个数是x，则根据平行四边形框框出4个数得其他3天可分别表示为x?1，x?6，x?7．
根据题意可列方程：x??x?1???x?6???x?7??74，解得x?15； 所以它分别是：15，16，21，22；
（2）设第一个数为x，则4x?14?26，x?3，本月3号是周六，由平行四边形框框出4个数， 得出结论：无法构成平行四边形．
【答案】（1）15，16，21，22；（2）无法构成平行四边形．
【例6】 如图，框内的四个数字的和为28，请通过平移长方形框的方法，使框内的数字之和为68，这样的
长方形的位置有几个？能否使框内的四个数字之和为49？若能，请找出这样的位置；若不能，请说明理由．
【解析】（1）设四个数字是a，a?1，a?7，a?8，根据题意可列方程：
a?a?1?a?7?a?8?68，解得a?13．则平移后的四个数是13、14、20、21．
（2）设四个数字是x，x?1，x?7，x?8，则4x?16?49，x?33．不合题意，舍去． 4【答案】平移后的四个数是13、14、20、21，这样的长方形的位置只有1个；不存在能使四个数字的和为
49的长方形．
【例7】 把2012个正整数1，2，3，4，…，2012按如图方式排列成一个表．
（1）用如图方式框住表中任意4个数，记左上角的一个数为x，则另三个数用含x的式子表示出来，从小到大依次是________________．
（2）由（1）中能否框住这样的4个数，它们的和会等于244吗？若能，则求出x的值；若不能，则说明理由．
【解析】（1）∵记左上角的一个数为x，∴另三个数用含x的式子表示为：x?8，x?16，x?24．
（2）不能．假设能够框住这样的4个数，则：x??x?8???x?16???x?24??244，解得x?49． ∵49是第七行最后一个数，∴不可以用如图方式框住．
【答案】（1）x?8，x?16，x?24；（2）不能．
模块三：和差倍分问题
和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几．
（1）当较大量是较小量的几倍多几时，较大量=较小量?倍数+多余量； （2）当较大量是较小量的几倍少几时，较大量=较小量?倍数-所少量．
【例8】 一部拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的
则这片地共有多少公顷？
21；第二天耕了剩下部分的，还剩下42公顷没耕完，33221，则耕地x公顷，第二天耕了剩下部分的，则第3331?2?121二天耕地??1??x?x（公顷），根据题意可列方程：x?x?x?42，解得x?189．
3?3?939【答案】189．
【解析】设这片地共有x公顷，第一天耕了这片地的
【例9】 牧羊人赶着一群羊寻找一个草长得茂盛的地方，一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来，他对
牧羊人说：“你赶的这群羊大概有100只吧!”牧羊人答道：“如果这群羊增加一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊一半的一半，连你这只羊也算进去，才刚好凑满100只．”问牧羊人的这群羊共有多少只?
【解析】设这群羊共有x只，根据题意可列方程：2x?【答案】36
【例10】 有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛之长时粗蜡烛之长的2倍，细蜡烛点完需1小时，粗蜡烛点完需2小
时，有一次停电，将这样的两支未使用过的蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩的长度一样，问停电的时间有多长？
【解析】设停电时间为x小时，粗蜡烛长l米，则细蜡烛长2l米，那么细蜡烛每小时点燃2l米，粗蜡烛没小
ll2时点燃米，根据题意可列方程：2l?2l?x?l?x，解得x?
2232【答案】停电时间为小时
3
【例11】 2006年我市在全国率先成为大面积实施“三免一补”的州市，据悉，2010年我市筹措农村义务教
育经费与“三免一补”专项资金3.6亿元【由中央、省、市、县（区）四级共同投入，其中，中央投入的资金约2.98亿元，市级投入的资金分别是县（区）级、省级投入资金的1.5倍、18倍】，且2010年此项资金比2009年增加1.69亿元．
（1）2009年我市筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金多少亿元？
（2）2010年省、市、县（区）各级投入的农村义务教育经费与“三免一补”专项资金各多少亿元？ （3）如果按2009-2010年筹措此项资金的年平均增长率计算，预计2011年，我市大约需要筹措农村义务教育经费与“三免一补”专项资金多少亿元（结果保留一位小数）？
【解析】（1）3.61?1.69?1.91（亿元）．
21（2）设市级投入x亿元，则县级投入x亿元，省级投入x亿元，
3182121由题意得：2.98?x?x?3.6，解得x?0.36．所以x?0.24（亿元），x?0.02（亿元）．
318318?1.69?（3）3.6??1?． ??6.8（亿元）
?1.91?11x?x?1?100，解得x?36. 24【答案】（1）1.91亿元；（2）省、市、县分别投入0.02亿元、0.36亿元、0.24亿元；（3）6.8亿元．
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