2024-2024年高考数学二轮复习 限时训练23 解析几何 理
1
1．(xx·高考浙江卷)如图，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t,0)(t>0)
4作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点． (1)求点A，B的坐标； (2)求△PAB的面积．
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．
解：(1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t)．
y＝kx－t，??
由?12
y＝x??4
消去y，整理得x－4kx＋4kt＝0，
2
由于直线PA与抛物线相切Δ＝0，得k＝t. 因此，点A的坐标为(2t，t)．
设圆C2的圆心为D(0,1)，点B的坐标为(x0，y0)．由题意知：点B，O关于直线PD对称，故
2
y0x0??＝－＋1，
2t?2
??x0t－y0＝0，
2tx＝??1＋t，解得?2ty＝??1＋t，
0
22
0
2
?2t2，2t2?.
因此，点B的坐标为??
?1＋t1＋t?
2
(2)由(1)知|AP|＝t·1＋t， 直线PA的方程为tx－y－t＝0. 点B到直线PA的距离是d＝2
2t2
1＋t2
.
3
1t设△PAB的面积为S(t)，则S(t)＝|AP|·d＝.
222．(xx·广东惠州调研)已知椭圆C过点M?1，
?
?6?
?，点F(－2，0)是椭圆的左焦点，点P，2?
Q是椭圆C上的两个动点，且|PF|，|MF|，|QF|成等差数列．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：线段PQ的垂直平分线经过一定点A. 解：(1)设椭圆C的方程为
x2y2
＋＝1(a>b>0)． a2b2
6??1＋4＝1，
由已知，得?ab??a－b＝2，
2
2
2
2
2
2
1
??a＝4，解得?2
??b＝2.
2
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
42(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由椭圆C的标准方程为＋＝1，
42可知|PF|＝ 同理|QF|＝2＋
x2y2
x2y2
x1＋2
2
x2， 2＋2
2
＋y＝ (x＋2)＋2－2＝2＋22x，
2
1
1
2x1
|MF|＝ ＋?
2?6?2
?＝2＋2. ?2?
∵2|MF|＝|PF|＋|QF|，∴2?2＋
??x1＋2y1＝4，
①当x1≠x2时，由?22
?x2＋2y2＝4，?
222
x21－x2＋2(y1－y2)＝0，
2
2
?
?22?
?＝4＋2(x1＋x2)，∴x1＋x2＝2. 2?得
∴
y1－y21x1＋x2
＝－·. x1－x22y1＋y2
y1－y21
＝－，得线段PQ的垂直平分线方程为y－n＝x1－x22n设线段PQ的中点为N(1，n)，由kPQ＝?1?2n(x－1)，即(2x－1)n－y＝0，该直线恒过一定点A?，0?.
?2?
②当x1＝x2时，P?1，－
??6??6?6??－6??
?，Q?1，?或P?1，?，Q?1，?. 2??2?2??2??
?1?线段PQ的垂直平分线是x轴，也过点A?，0?.
?2??1?综上，线段PQ的垂直平分线过定点A?，0?. ?2?
x2y22
3.如图，已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且过点(2，2)，四边形ABCD的顶
ab2b2
点在椭圆E上，且对角线AC，BD过原点O，kAC·kBD＝－2. a
→→
(1)求OA·OB的取值范围；
(2)求证：四边形ABCD的面积为定值．
??解：(1)?42
＋＝1，ab??a＝b＋c，
22
22
2
c2
＝，a2
2
222
??a＝8，得?2
?b＝4，?
2
∴＋＝1.
84
x2y2
当直线AB的斜率存在时，设lAB：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
??y＝kx＋m由?22
?x＋2y＝8?
?(1＋2k)x＋4kmx＋2m－8＝0，
2
－4km2m－8∴x1＋x2＝，xx＝1222. 1＋2k1＋2k2m－8－4kmm－8k2
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k·2＋km·2＋m＝2.
1＋2k1＋2k1＋2k2
2
2
b2y1y21
∵kOA·kOB＝－2?·＝－，
ax1x22
2
m2－8k212m－822∴2＝－·2?m＝4k＋2. 1＋2k21＋2k→→2222
2m－8m－8k4k－24
OA·OB＝x1x2＋y1y2＝＝2－2， 2＋2＝2
1＋2k1＋2k2k＋12k＋1→→→→
∴－2≤OA·OB<2，当k＝0时，OA·OB＝－2， →→
当k不存在，即AB⊥x轴时，OA·OB＝2， →→
∴OA·OB的取值范围是[－2,2]． (2)由题意知S四边形ABCD＝4S△AOB. 12∵S△AOB＝·1＋k·
2∴S△四边形ABCD＝82.
4．已知抛物线C：y＝2x，直线l：y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M2
x1＋x2
2－4x1x2·
|m|1＋k2
＝24k＋2
2， 2＝2
1＋2k2作x轴的垂线交C于点N.
(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
(2)是否存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
(1)证法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋2代入y＝2x中，得2x－kx－2＝0， ∴x1＋x2＝.
2
2
2
k?kk?∵xN＝xM＝＝，∴N点的坐标为?，?.
24?48?
x1＋x2k∵(2x)′＝4x，∴(2x)′|x＝＝k，
4即抛物线在点N处的切线的斜率为k.
∵直线l：y＝kx＋2的斜率为k，∴切线平行于AB.
证法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝kx＋2代入y＝2x中得2x－kx－2＝0， ∴x1＋x2＝.
2
2
2
2
2
2
kk?kk?∵xN＝xM＝＝，∴N点的坐标为?，?.
24?48?
x1＋x2k设抛物线在点N处的切线l1的方程为y－＝m?x－?，
8?4?将y＝2x代入上式得2x－mx＋－＝0，
48
2
2
2
k2
?
k?mkk2
?mkk?222
∵直线l1与抛物线C相切，∴Δ＝m－8?－?＝m－2mk＋k＝(m－k)＝0，
?48?
2
2
∴m＝k，即l1∥AB.
(2)解：假设存在实数k，使以AB为直径的圆M经过点N. 1
∵M是AB的中点，∴|MN|＝|AB|.
2
11
由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2)＝
2211?k?k[k(x1＋x2)＋4]＝?＋4?＝＋2， 22?2?4∵MN⊥x轴，∴|MN|＝|yM－yN|＝＋2－＝
48∵|AB|＝×k＋16.
2
2
2
k2k2k2＋16
8
. 2
1＋k×
2
x1＋x2
2
－4x1x2＝1＋k×
?k?2－
?2???
－＝
12
k2＋1
∴
k2＋161
8
＝4
k2＋1×k2＋16，∴k＝±2，
∴存在实数k＝±2，使以AB为直径的圆M经过点N.
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