6-1-9.鸡兔同笼问题（一）
教学目标
1. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”.
2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象．
知识精讲
一、鸡兔同笼
这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？
你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？ 二、解鸡兔同笼的基本步骤
解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1．因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47?35?12（只）．显然，鸡的只数就是35?12?23（只）了．
这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”．
假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到．
解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 如果假设全是兔，那么则有： 鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数
如果假设全是鸡，那么就有：
兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数
当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍 当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍
在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法
例题精讲
模块一、两个量的“鸡兔同笼”问题——鸡兔同笼问题
【例 1】 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 假设46只都是兔，一共应有4?46?184只脚，这和已知的128只脚相比多了184?128?56只脚，这
是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多4?2?2（只）脚，那么56只脚是我们把56?2?28只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是46?28?18（只）．当然，这里我们也可以假设46只全是鸡！鼓励学生从两个方面假设解题，更深一步理解假设法．
【答案】鸡28只，兔18只
【巩固】 点点家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，点点数了数，它们共有35个头，94只脚．问：
点点家养的鸡和兔各有多少只？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 方法一：我们假设，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都是两条后腿，像人一样用
两只脚站着．现在，地面上出现的脚是总数的一半，也就是94?2?47(只)．在47这个数中，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次，因此从47减去总头数35，剩下的就是兔子头数，47?35?12(只)，所以有12只兔子，有35?12?23(只)鸡．
方法二：假设35只都是兔子，那么就有35?4?140(只)脚，比94只脚多了140?94?46(只)．每只鸡比兔子少4?2?2(只)脚，那么共有鸡46?2?23(只)
方法三：还可以假设35只都是鸡，那么共有脚2?35?70(只)，比94只脚少了94?70?24(只)脚，每只鸡比兔子少4?2?2(只)脚，那么共有兔子24?2?12(只)． 方法一可以归结为：总脚数?2?总头数?兔子数．能够这样算，主要是利用了兔和鸡的脚数分别为4和2，而且4是2的2倍．
方法二说明假设的35只兔子中有23只不是兔子，而是鸡．由此可以列出公式： 鸡数?(兔脚数?总头数?总脚数)?(兔脚数?鸡脚数)
方法三说明假设的35只鸡中有12只是兔．由此可以列出公式： 兔数?(总脚数?鸡脚数?总头数)?(兔脚数?鸡脚数)
【答案】鸡23只，兔12只
【巩固】 鸡兔共有45只，关在同一个笼子中．每只鸡有两条腿，每只兔子有四条腿，笼中共有100条腿．试
计算，笼中有鸡多少只？兔子多少只？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 ⑴假设法：若假设所有的45只动物都是兔子，那么一共应该有4?45?180(条)腿，比实际多算
180?100?80(条)腿．而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿，所以有80?2?40(只)鸡被当作了兔子，所以共有40只鸡，有45?40?5(只)兔子．
注意：假设为兔子时，按照“多算的腿数”计算出的是鸡的数目；假设为鸡时，按照“少算的腿数”
计算出的是兔子的数目．同学们可以自己来做一下当假设为鸡时的算法．
⑵“金鸡独立”法（砍足法）：
假设所有的动物都只用一半的腿站立，这样就出现了鸡都变成了“金鸡独立”，而兔子们都只用两
条腿站立的“奇观”．这样就有一个好处：鸡的腿数和头数一样多了；而每只兔子的腿数则会比头数多1．因此，在腿的数目都变成原来的一半的时候，腿数比头数多多少，就有多少只兔子．原来有100只腿，让兔子都抬起两只腿，鸡抬起一只腿，则此时笼中有100?2?50(条)腿，比头数多50?45?5，所以有5只兔子，另外40只是鸡．
【答案】鸡40只，兔5只
【巩固】 老虎和鸡共l0只，脚共26只．鸡（ ）只． 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，初赛 【解析】 这属于鸡兔同笼问题，每只老虎有4只腿，每只鸡有2只腿。假设10只都是鸡，那么老虎的只数是：
（26－2×10）÷（4-2）=3只，鸡有10-3=7（只）。
【答案】鸡7只
【例 2】 动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有36只眼睛和52只脚，问：鸵鸟和大象各有多少？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和大象的总数为：36?2?18，假设鸵鸟和大象
一样也有4只脚，则应该有(4?18?)72只脚，多了(72?52?)20只脚，由假设引起的差值：4?2?2，则鸵鸟数为20?2?10（只），大象数为18?10?8（头）．
【答案】鸵鸟10只，大象8头
【例 3】 一队猎手一队狗，两队并着一起走。数头一共一百六，数脚一共三百九，则有 名猎手， 只
狗。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 如果全是猎手则有脚320个，多出的390-320=70个脚是狗多出来的，所以狗有70÷2=35条，猎手有
160-35=125个.
【答案】125个
【例 4】 动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208只，鸵鸟比梅花鹿多20只，梅花鹿和鸵鸟各有多少只？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法，整体思想 【解析】 假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的20只的脚数得：208?20?2?168
(只)．这168只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数(注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同)脚数的和，一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是：2?4?6(只)，所以梅花鹿的只数是：168?6?28(只)，从而鸵鸟的只数是：28?20?48(只) （本题也可给学生讲成“捆绑法”，一鸡一兔一组，这个怎么分组时有倍数关系得到的）
【答案】梅花鹿28只，鸵鸟48只
【巩固】 一个养殖园内，鸡比兔多36只，共有脚792只，鸡兔各几只？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法，整体思想 【解析】 已知鸡比兔多36只，如果把多的36只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的36只鸡有2?36?72（只）脚，可知现在剩下792?72?720（只）脚，一只鸡与一只兔有6只脚，那么兔有720?6?120（只），鸡有120?36?156（只）．
【答案】兔有120只，鸡有156只。
【巩固】 鸡、兔同笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法，整体思想 【解析】 这道例题是已知鸡、兔的脚数和，鸡比兔多的只数，求鸡、兔各几只．我们假设鸡与兔只数一样多，
那么现在它们的足数一共有：274?2?26?222（只），每一对鸡、兔共有足：2?4?6（只），鸡兔共有对数（也就是兔子的只数）：222?6?37（只），则鸡有 37?26?63（只）．
【答案】兔子37只，鸡有63只
【例 5】 鸡兔同笼，鸡、兔共有107只，兔的脚数比鸡的脚数多56只，问鸡、兔各多少只？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法，整体思想 【解析】 这道例题和前面的例题有所不同，前面的题是已知头数之和和脚数之和求各有几只，而这道题是已
知头数之和和脚数之差，这样就比前面的例题增加了一点难度．我们用两种方法来解这道题． （方法一）考虑如果补上鸡脚少的56只的话，那么就要增加56?2?28（只）鸡．这样一来，鸡、兔共有107?28?135（只），这时鸡脚、兔脚一样多．
已知一只鸡的脚数是一只兔的一半，而现在鸡脚、兔脚相同，可知鸡的只数是兔的2倍，根据和倍问题有：兔有：135?(2?1)?45（只），鸡有：135?45?28?62（只）或者107?45?62（只） （方法二）不妨假设107只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：107?4?428（只），而鸡的脚数为零．这样兔脚比鸡脚多428只，而实际上只多56只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多：
．现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少4只，鸡脚增加2只，即兔脚与鸡脚的总428?56?372（只）
数差就会减少4?2?6（只）．鸡的只数：372?6?62（只）兔的只数：107?62?45（只）
【答案】兔有45只，鸡有62只。
【巩固】 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只.问：鸡、兔各多少只? 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法，整体思想 【解析】 假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零.这样鸡脚比兔脚多200只，而
实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200?20?180(只).现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4?2?6(只)，而180?6?30，因此有兔子30只，鸡100?30?70(只).
【答案】兔子30只，鸡70只.
【巩固】 鸡、兔共60只，鸡脚比兔脚多60只．问：鸡、兔各多少只？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法，整体思想 【解析】 假设60只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚120只，而兔的脚数为零．这样鸡脚比兔脚多120只，而
实际上只多60只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多120?60?60(只)．现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4?2?6(只)，而60?6?10，因此有兔子10只，鸡60?10?50(只)．
【答案】兔子10只，鸡50只.
【巩固】 鸡、兔共有27只，兔的脚比鸡的脚多18只。兔有 只。 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】假设思想方法，整体思想，2004年，第2届，走美杯，3年级，决赛 【解析】 如果27只都是兔，那么有108只脚，兔脚比鸡脚多108只，每用1只兔换1只鸡，兔脚与鸡脚的差
将减少6只，所以有鸡90?6?15只，兔子12只。
【答案】12只
【例 6】 鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只 ？ 【考点】鸡兔同笼问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法，整体思想 【解析】 解一:假如再补上28只鸡脚,也就是再有鸡28÷2=14(只),鸡与兔脚数就相等,兔的脚是鸡的脚
4÷2=2(倍),于是鸡的只数是兔的只数的2倍.
兔的只数是 (100+28÷2)÷(2+1)=38(只). 鸡是100-38=62(只).
当然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只数是 (100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只). 也可以用任意假设一个数的办法.
解二:假设有50只鸡,就有兔100-50=50(只).此时脚数之差是
4×50-2×50=100, 比28多了72.就说明假设的兔数多了(鸡数少了).为了保持总数是100, 一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(千万注意,不是2). 因此要减少的兔数是 (100-28)÷(4+2)=12(只). 兔只数是 50-12=38(只).
【答案】鸡是62只，兔是38只.
【例 7】 每只完整的螃蟹有2只鳌、8只脚。现有一批螃蟹，共有25只鳌，120只脚。其中可能有多少缺鳌
少脚的，但每只螃蟹至少保留1只鳌、4只脚。这批螃蟹最多有 只，至少有 只。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，初赛 【解析】 若要螃蟹尽量多，那么螃蟹的鳌和脚要尽量少，光看鳌的话，鳌最少为1，螃蟹最多为25只，只看
脚的话，脚最少为4，螃蟹最多为120?4?30只，所以螃蟹最多为25只，同理若要螃蟹尽量少，那么螃蟹的鳌和脚要尽量多，光看鳌的话，鳌最多为2，螃蟹最少为12?1?13只，只看脚的话，脚最多为8，螃蟹最少为120?8?15只，所以螃蟹最少为13只。
【答案】螃蟹最少13只，最多25只
模块二、两个量的“鸡兔同笼”问题——变例
【例 8】 在一个停车场上，现有车辆41辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有127个轮
子，那么三轮摩托车有多少辆？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 假设都是三轮摩托车，应有3?41?123(个)轮子，少了127?123?4(个)轮子．每把一辆汽车假设为
三轮摩托车，会减少4?3?1(个)轮子．汽车有4?1?4(辆)；从而求出三轮摩托车有41?4?37(辆)．或者假设都是汽车，应有4?41?164(个)轮子，多了164?127?37(个)轮子；
所以摩托车有37?(4?3)?37(辆)． 【答案】37辆
【巩固】 某玩具店新购进飞机和汽车模型共30个，其中飞机模型每个有3个轮子，汽车模型每个有4个轮
子，这些玩具模型共有110个轮子。则新购进的飞机模型有________个。
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第17题 【解析】 假设30个模型都是汽车，那么就有30×4=120个轮子，少了120-110=10（个），每个飞机比汽车少1
个轮子，那么有飞机模型：10÷1=10（个）
【答案】10个
【例 9】 体育老师买了运动服上衣和裤子共21件，共用了439元，其中上衣每件24元、裤子每件19元，问
老师买上衣和裤子各多少件？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 假设买的都是上衣，那么裤子的件数为：(24?21?439)?(24?19)?13（件），上衣：21?13?8（件）． 【答案】裤子13件，上衣8件.
【例 10】 100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组。问：高、
低年级学生各多少人?
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，初赛，第8题 【解析】 如全为高年级学生，则只需41×2＝82（人），实际100人，100－82＝18（人），所以有18组低年
级学生，41－18＝23组高年级学生，高年级学生为23×2＝46（人），低年级学生为18×3＝54（人）。
【答案】高年级46人，低年级54人
【巩固】 三(1)班有象棋、飞行棋共14副，恰好可供全班40名同学同时进行活动．象棋要2人下一副，飞行
棋要4人下一副，则飞行棋和象棋各有几副？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 假设只有飞行棋，那么一共有14?4?56（名）同学参与活动，多出56?40?16（名）同学，多一
副象棋，就会少4?2?2（名）同学，可知一共有16?2?8（副）象棋，14?8?6（副）飞行棋．
【答案】飞行棋6副，象棋8副
【例 11】 某学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人．已知这些宿舍中共住了168人，
那么其中有多少间大宿舍？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 如果30间都是小宿舍，那么只能住4?30?120（人），而实际上住了168人．大宿舍比小宿舍每间
多住6?4?2（人），所以大宿舍有． （168?120）?2?24（间）
【答案】24间
【巩固】 王老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船．每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大
船、小船各租几条？
【考点】鸡兔同笼问题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】假设思想方法 【解析】 我们分步来考虑：
①假设租的10条船都是大船，那么船上应该坐6?10? 60（人）．
②假设后的总人数比实际人数多了60?(41?1)?18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人．
③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18?2?9（条）小船当成大船．所以有9条小船，1条大船．
列式为： [6?10?(41?1)]?(6?4)?18?2?9(条）10?9?1（条） 【答案】1条大船，9条小船
a小学数学奥赛6-1-21 鸡兔同笼问题（一）.教师版
