∴(
)2+(x﹣)2=x2,
解得:x=10, ∴OA=10,
∴直径AB的长为20.
【点评】本题考查了切线的判定和性质,圆周角定理,垂径定理,相似三角形的判定和性质,正确的识别图形是解题的关键. 21.(8分)阅读下面的材料:
如果函数y=f(x)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1,x2, (1)若x1<x2,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是增函数; (2)若x1<x2,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是减函数. 例题:证明函数f(x)=(x>0)是减函数. 证明:设0<x1<x2, f(x1)﹣f(x2)=∵0<x1<x2,
∴x2﹣x1>0,x1x2>0. ∴
>0.即f(x1)﹣f(x2)>0.
﹣
=
=
.
∴f(x1)>f(x2).
∴函数f(x)═(x>0)是减函数. 根据以上材料,解答下面的问题: 已知函数f(x)=
+x(x<0),
f(﹣1)=+(﹣1)=0,f(﹣2)=
,f(﹣4)= ﹣
+(﹣2)=﹣ ;
(1)计算:f(﹣3)= ﹣(2)猜想:函数f(x)=
+x(x<0)是 增 函数(填“增”或“减”);
(3)请仿照例题证明你的猜想.
【分析】(1)根据题目中函数解析式可以解答本题; (2)由(1)结论可得;
(3)根据题目中例子的证明方法可以证明(1)中的猜想成立. 【解答】解:(1)∵f(x)=∴f(﹣3)=故答案为:﹣
﹣3=﹣,﹣
+x(x<0), ,f(﹣4)=
﹣4=﹣
(2)∵﹣4<﹣3,f(﹣4)>f(﹣3) ∴函数f(x)=故答案为:增 (3)设x1<x2<0, ∵f(x1)﹣f(x2)=
+x1﹣
﹣x2=(x1﹣x2)(1﹣
)
+x(x<0)是增函数
∵x1<x2<0,
∴x1﹣x2<0,x1+x2<0, ∴f(x1)﹣f(x2)<0 ∴f(x1)<f(x2) ∴函数f(x)=
+x(x<0)是增函数
【点评】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用反比例函数的性质解答.
22.(11分)如图1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,E是CD边上一点,连接AE,将矩形ABCD沿AE折叠,顶点D恰好落在BC边上点F处,延长AE交BC的延长线于点G.
(1)求线段CE的长;
(2)如图2,M,N分别是线段AG,DG上的动点(与端点不重合),且∠DMN=∠DAM,设AM=x,DN=y.
①写出y关于x的函数解析式,并求出y的最小值;
②是否存在这样的点M,使△DMN是等腰三角形?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)由翻折可知:AD=AF=10.DE=EF,设EC=x,则DE=EF=8﹣x.在Rt△ECF中,利用勾股定理构建方程即可解决问题. (2)①证明△ADM∽△GMN,可得
=
,由此即可解决问题.
②存在.有两种情形:如图3﹣1中,当MN=MD时.如图3﹣2中,当MN=DN时,作MH⊥DG于H.分别求解即可解决问题. 【解答】解:(1)如图1中,
∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC=10,AB=CD=8, ∴∠B=∠BCD=90°,
由翻折可知:AD=AF=10.DE=EF,设EC=x,则DE=EF=8﹣x. 在Rt△ABF中,BF=∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4,
在Rt△EFC中,则有:(8﹣x)2=x2+42, ∴x=3,
=6,
∴EC=3.
(2)①如图2中,
∵AD∥CG, ∴∴
=
,
=,
∴CG=6,
∴BG=BC+CG=16, 在Rt△ABG中,AG=在Rt△DCG中,DG=∵AD=DG=10, ∴∠DAG=∠AGD,
∵∠DMG=∠DMN+∠NMG=∠DAM+∠ADM,∠DMN=∠DAM, ∴∠ADM=∠NMG, ∴△ADM∽△GMN, ∴∴∴y=当x=4
②存在.有两种情形:如图3﹣1中,当MN=MD时,
=
, =x2﹣
, x+10.
=8=10,
,
时,y有最小值,最小值=2.
∵∠MDN=∠GMD,∠DMN=∠DGM, ∴△DMN∽△DGM, ∴
=
,
∵MN=DM, ∴DG=GM=10, ∴x=AM=8
如图3﹣2中,当MN=DN时,作MH⊥DG于H.
﹣10.
∵MN=DN, ∴∠MDN=∠DMN, ∵∠DMN=∠DGM, ∴∠MDG=∠MGD, ∴MD=MG, ∵BH⊥DG, ∴DH=GH=5, 由△GHM∽△GBA,可得∴
=
,
=
,
山东省济宁市2019中考数学试题(解析版)
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