9.(3分)如图,点A的坐标是(﹣2,0),点B的坐标是(0,6),C为OB的中点,将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′.若反比例函数y=的图象恰好经过A′B的中点D,则k的值是( )
A.9
B.12
C.15
D.18
【分析】作A′H⊥y轴于H.证明△AOB≌△BHA′(AAS),推出OA=BH,OB=A′H,求出点A′坐标,再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题. 【解答】解:作A′H⊥y轴于H.
∵∠AOB=∠A′HB=∠ABA′=90°,
∴∠ABO+∠A′BH=90°,∠ABO+∠BAO=90°, ∴∠BAO=∠A′BH, ∵BA=BA′,
∴△AOB≌△BHA′(AAS), ∴OA=BH,OB=A′H,
∵点A的坐标是(﹣2,0),点B的坐标是(0,6), ∴OA=2,OB=6,
∴BH=OA=2,A′H=OB=6, ∴OH=4, ∴A′(6,4),
∵BD=A′D, ∴D(3,5),
∵反比例函数y=的图象经过点D, ∴k=15. 故选:C.
【点评】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征,坐标与图形的变化﹣旋转等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考选择题中的压轴题. 10.(3分)已知有理数a≠1,我们把﹣1的差倒数是
称为a的差倒数,如:2的差倒数是
=﹣1,
=.如果a1=﹣2,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4
是a3的差倒数……依此类推,那么a1+a2+…+a100的值是( ) A.﹣7.5
B.7.5
C.5.5
D.﹣5.5
【分析】求出数列的前4个数,从而得出这个数列以﹣2,,依次循环,且﹣2++=﹣,再求出这100个数中有多少个周期,从而得出答案. 【解答】解:∵a1=﹣2, ∴a2=
=,a3=
=,a4=
=﹣2,……
∴这个数列以﹣2,,依次循环,且﹣2++=﹣, ∵100÷3=33…1,
∴a1+a2+…+a100=33×(﹣)﹣2=﹣故选:A.
【点评】本题考查了规律型:数字的变化类:通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素,然后推广到一般情况.
二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分。
11.(3分)已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根,则方程的另一个根是 ﹣2 . 【分析】根据根与系数的关系得出x1x2==﹣2,即可得出另一根的值. 【解答】解:∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根,
=﹣7.5,
∴x1x2==﹣2, ∴1×x2=﹣2,
则方程的另一个根是:﹣2, 故答案为﹣2.
【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,得出两根之积求出另一根是解决问题的关键.
12.(3分)如图,该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是 140° .
【分析】先根据多边形内角和定理:180°?(n﹣2)求出该多边形的内角和,再求出每一个内角的度数.
【解答】解:该正九边形内角和=180°×(9﹣2)=1260°, 则每个内角的度数=故答案为:140°.
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理:180°?(n﹣2),比较简单,解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和.
13.(3分)已知点P(x,y)位于第四象限,并且x≤y+4(x,y为整数),写出一个符合上述条件的点P的坐标 (1,﹣2)(答案不唯一) .
【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点得出x,y的取值范围,进而得出答案. 【解答】解:∵点P(x,y)位于第四象限,并且x≤y+4(x,y为整数), ∴x>0,y<0, ∴当x=1时,1≤y+4, 解得:0>y≥﹣3, ∴y可以为:﹣2,
故写一个符合上述条件的点P的坐标可以为:(1,﹣2)(答案不唯一). 故答案为:(1,﹣2)(答案不唯一).
【点评】此题主要考查了点的坐标,正确把握横纵坐标的符号是解题关键.
=140°.
14.(3分)如图,O为Rt△ABC直角边AC上一点,以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D,交OA于点E,已知BC=
,AC=3.则图中阴影部分的面积是
.
【分析】首先利用勾股定理求出AB的长,再证明BD=BC,进而由AD=AB﹣BD可求出AD的长度;利用特殊角的锐角三角函数可求出∠A的度数,则圆心角∠DOA的度数可求出,在直角三角形ODA中求出OD的长,最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积. 【解答】解:在Rt△ABC中,∵BC=∴AB=∵BC⊥OC, ∴BC是圆的切线,
∵⊙O与斜边AB相切于点D, ∴BD=BC, ∴AD=AB﹣BD=2
﹣
==
; =,
=2
,
,AC=3.
在Rt△ABC中,∵sinA=∴∠A=30°,
∵⊙O与斜边AB相切于点D, ∴OD⊥AB,
∴∠AOD=90°﹣∠A=60°, ∵∴
=tanA=tan30°, =
,
∴OD=1, ∴S阴影=故答案是:
.
=
.
【点评】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用,熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键.
15.(3分)如图,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(﹣1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+c>n的解集是 x<﹣3或x>1 .
【分析】观察两函数图象的上下位置关系,即可得出结论.
【解答】解:∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(﹣1,p),B(3,q)两点, ∴﹣m+n=p,3m+n=q,
∴抛物线y=ax2+c与直线y=﹣mx+n交于P(1,p),Q(﹣3,q)两点,
观察函数图象可知:当x<﹣3或x>1时,直线y=﹣mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的下方, ∴不等式ax2+mx+c>n的解集为x<﹣3或x>1. 故答案为:x<﹣3或x>1.
【点评】本题考查了二次函数与不等式,根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键.
三、解答题:本大题共7小题,共55分,
山东省济宁市2019中考数学试题(解析版)
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