考研数学真题及解析
2017 年考研数学一真题及答案解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
??1? cos x , x ? 0 （1） 若函数 f (x) ? ?在 x ? 0 处连续，则（
? ax ?b, x ? 0 ?1
( A)ab ?
2
(C)ab ? 0
1
B ab ? ? ??
2
?D ?ab ? 2
）
【答案】A
?
?
【解析】 lim
1? cos x?0? ax
x
1
x 1 1
2 ? 1,? f ( x) 在 x ? 0 处连续? ? b ? ab ? . 选A. ? lim x?0??
2a 2 ax 2a （2） 设函数 f (x) 可导，且 f (x) f '(x) ? 0 ，则（
）
( A) f (1) ??f (?1) (C) f (1) ??f (?1)
? B ? f (1) ??f (?1) ? D ??f (1) ??f (?1) 【答案】C
【解析】? f (x) f ' (x) ? 0,?
? f (x) ? 0
(1) 或
? f (x) ? 0
(2) ，只有C 选项满足(1) 且满足(2) ，所以选
?
??f '(x) ? 0
C。
?
??f '(x) ? 0
（3）函数 f (x, y, z) ? x2 y ? z2 在点(1, 2, 0) 处沿向量u ? ?1, 2, 2? 的方向导数为（
）
( A)12 (B)6 (C)4 (D)2
考研数学真题及解析
【答案】D
?
2
【解析】 gradf ? {2xy, x , 2z}, ? gradf (1,2,0) ? {4,1, 0} ??
1 2 2
? gradf ??u ? {4,1, 0}??{ , , } ? 2.
| u | ?u 3 3 3
?f
?
?
选D.
（4） 甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线v ? v1 (t)
（单位： m / s ），虚线表示乙的速度曲线v ? v2 (t) ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0 （单位：s），则（
）
( A)t0 ? 10
(B)15 ? t0 ? 20 (C)t0 ? 25 (D)t0 ? 25
【答案】B
t (t)dt, v (t)t dt, 则乙要追上甲，则 【解析】从 0 到t 这段时间内甲乙的位移分别为 v
0
0
t0
0
v (t) ? v (t)dt ? 10 ，当t ? 25 时满足，故选C.
2
1
0
?0 1
?0
2
?
0
（5） 设?是n 维单位列向量， E 为n 阶单位矩阵，则（
）
( A)E ???T 不可逆 (C)E ? 2??T 不可逆
?T 不可逆 ? B ?E ???T 不可逆 ? D? E ? 2?
考研数学真题及解析
【答案】A
【解析】选项 A,由(E ???T )?? ???? 0 得(E ???T )x ? 0 有非零解，故 E ???T ? 0 。即 E ???T
不可逆。选项 B,由r(??T )?? 1 得??T 的特征值为 n-1 个 0，1.故 E ???T 的特征值为 n-1 个 1，2. 故可逆。其它选项类似理解。
?2 0 0? ?2 1 0? ?1 0 0??
（6）设矩阵 A ? ??0 2 1?? , B ? ??0 2 0?? ,C ? ??0 2 0???
,则（ ） ??0 0 1?????0 0 1?????0 0 2???
( A) A与C相似, B与C相似
? B ?A与C相似, B与C不相似
(C) A与C不相似, B与C相似 ? D? A与C不相似, B与C不相似
【答案】B
【解析】由(?E ? A) ? 0 可知A 的特征值为 2,2,1
? 1 0 0 ??因为3 ? r(2E ? A) ? 1，∴A 可相似对角化，且 A ~ ?? 0 ?
? 2 0 ??
? 0 0 2 ??
???
?由 ?E ? B ? 0 可知B 特征值为 2,2,1.
因为3 ? r(2E ? B) ? 2 ，∴B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化， ∴ A ~ C ，且B 不相似于C
（7） 设 A, B 为随机概率，若0 ? P( A) ? 1, 0 ? P(B) ? 1 ，则 P( A B) ? P( A B) 的充分必要条件是（
(A) )P(B A) ? P(B A) (B)P(B A) ? P(B A) (C)P(B A) ? P(B A)
(D)P(B A) ? P(B A)
）
考研数学真题及解析
【答案】A
【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。
（8） 设 X1, X 2 ??? Xn (n ? 2) 为来自总体 N (?,1) 的简单随机样本，记 X ?
1 n
??Xn i?1
i
，则下列结论中不
正确的是（ ）
n ( A)?( X ? ?)2 服从?2分布
i i?1
n
?B ?2( X ? X )2 服从?2 分布
n 1
2
)2 服从?分布 ?D ?n( X ? ?2 2(C) ?( Xi ? X )服从?分布?
i?1
【答案】B
【解析】
X ? N (?,1), X i ? ?? N (0,1)
n
)2 ? ?2 (n), A正确 ? ?( Xi ? ?i?1
n
2
? (n ?1)S ? ?( X i ? X )2 ? ?(n ?1)，C 正确，
i?1 1 ? X ~N (? ? ?) ? N (0,1), n( X ? ?) 2 ~ ?2(1), D 正确, , ), n ( X n
( X ? X )2
1
?~ N (0, 2), n ~ ?2(1), 故B错误.
2
2
由于找不正确的结论，故 B 符合题意。
二、填空题：9?14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．(9) 已知函数 f (x) ??【答案】 f (0) ? ?6
1 (3)
，则 f (0) = 2
1? x
考研数学真题及解析
【解析】
1
f (x) ?
1
? 2 n ??
? ? ?(?x ) 1? x2 1? (?x2 ) n?0
?? n?2
? ?(?1) x
n?0
n 2n
f ''' (x) ? ?(?1)n 2n(2n ?1)(2n ? 2)x2 n ?3 ? f ''' (0) ? 0
(10) 微分方程 y'' ? 2 y' ? 3y ? 0 的通解为 y ?
1 2
【答案】 y ? e? x (c cos 2x ? c sin 2x) ，（ c , c 为任意常数） 1 2
2
?【解析】齐次特征方程为 ? 2?? 3 ? 0 ? ??
1,2
? ?1? 2i
故通解为e? x (c 1 cos 2x ? c
2
sin 2x)
在区域 D ? (x, y) | x 2 ? y 2 ? 1内与路径无关，则
(11) 若曲线积分 ?
xdx ? aydy ?
?
a ?
【答案】a ? 1 【解析】
?
?P
??
?y
?P ?Q ?Q ??2xy 2axy , 由积分与路径无关知? ? a ? ?1 , ?
(x2 ? y2 ?1)2 ?x (x2 ? y2 ?1)2 ?y ?x
?
?
?
?
(12) 幂级数?(?1)n?1 nxn?1 在区间(?1,1) 内的和函数 S (x) ? n?1
??
【答案】 s(x) ??
1
?
?
?1? x?
21 ??x ?
? ??n?1 n?1 n?1 n
【解析】?(?1)nx? ??(?1)x? ? ? ? ??
2
(1? x) 1? x ?n?1 ? n?1 ? ??
??
??
??
'
'
? 1 0 1 ????
（13） 设矩阵 A ? 1 1 2 ，?,? ,? 为线性无关的 3 维列向量组，则向量组 A?, A? , A? 的秩
? ??1 2 3 1 2 3 ? 0 1 1 ??? ??
为
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