第1节 函数及其表示
最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).
知 识 梳 理
1.函数与映射的概念
两个集合 设A，B是两个非空数集 设A，B是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关系f，如果按照某种确定的对应关系f，使对对应关系 于集合A中的任意一个数x，在集合B使对于集合A中的任意一个元素函数 映射 A，B f：A→B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应 x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 称f：A→B为从集合A到集合B的一称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 函数y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B 名称 个函数 记法 2.函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. [微点提醒]
1
1.函数是特殊的映射，是定义在非空数集上的映射.
2.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝1与y＝x是同一个函数.( ) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( ) (3)f(x)＝x－3＋2－x是一个函数.( )
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )
解析 (1)错误.函数y＝1的定义域为R，而y＝x的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.
(2)错误.值域C?B，不一定有C＝B. (3)错误.f(x)＝x－3＋2－x中x不存在.
(4)错误.若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(必修1P25B2改编)若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
0
0
解析 A中函数定义域不是[－2，2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0，2]. 答案 B
3.(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
3
A.y＝(x＋1)
2
2
B.y＝x＋1 D.y＝x＋1
23
x2
C.y＝＋1
x解析 对于A，函数y＝(x＋1)的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，
x2
不是相等函数；对于B，定义域和对应法则分别对应相同，是相等函数；对于C，函数y＝x＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域x∈R不同，不是相等函数；对于D，定
2
义域相同，但对应法则不同，不是相等函数. 答案 B
4.(2019·珠海期中)已知f(x)＝lg x，则f(2)＝( ) 1
A.lg 2 5
5
5
1
B.lg 5 2
1
1
C.lg 2 31
D.lg 3 2
解析 令x＝2，则x＝25， 1
∴f(2)＝lg 25＝lg 2.
5答案 A
5.(2019·河南、河北两省重点高中联考)函数f(x)＝4－4＋ln(x＋4)的定义域为________.
?4－4≥0，?
解析 要使f(x)有意义，则?解得－4 ?x＋4>0，? xx1 答案 (－4，1] 6.(2018·福州调研)已知函数f(x)＝ax－2x的图象过点(－1，4)，则a＝________. 解析 由题意知点(－1，4)在函数f(x)＝ax－2x的图象上，所以4＝－a＋2，则a＝－2. 答案 －2 考点一 求函数的定义域 【例1】 (1)(2019·湘潭模拟)函数y＝1－x＋log2(tan x－1)的定义域为________. (2)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝ 2 23 3 f(2x) 的定义域为________. x－1 2 解析 (1)要使函数y＝1－x＋log2(tan x－1)有意义，则1－x≥0，tan x－1>0，且x≠kππ ＋(k∈Z). 2 ππ ∴－1≤x≤1且＋kπ 42π 可得 4 ?π?则函数的定义域为?，1?. ?4? (2)因为y＝f(x)的定义域为[0，2]， 3 ??0≤2x≤2， 所以要使g(x)有意义应满足?解得0≤x<1. ?x－1≠0，? 所以g(x)的定义域是[0，1). ?π?答案 (1)?，1? (2)[0，1) ?4? 规律方法 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. －x－x＋2 【训练1】 (1)(2019·深圳模拟)函数y＝的定义域为( ) ln xA.(－2，1) C.(0，1) B.[－2，1] D.(0，1] 2 (2)设函数f(x)＝lg(1－x)，则函数f[f(x)]的定义域为( ) A.(－9，＋∞) C.[－9，＋∞) 2 B.(－9，1) D.[－9，1) ??－x－x＋2≥0， 解析 (1)要使函数有意义，则? ?ln x≠0，???－2≤x≤1， 解得? ?x>0且x≠1.? ∴函数的定义域是(0，1). (2)易知f[f(x)]＝f[lg(1－x)]＝lg[1－lg(1－x)]， ??1－x>0，则?解得－9 故f[f(x)]的定义域为(－9，1). 答案 (1)C (2)B 考点二 求函数的解析式 4 ?2?【例2】 (1)已知f?＋1?＝lg x，则f(x)＝________； ?x? (2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________； ?1?(3)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f??·x－1，则f(x)＝________. ?x? 22 解析 (1)令t＝＋1(t>1)，则x＝， xt－1∴f(t)＝lg 22，即f(x)＝lg (x>1). t－1x－1 2 (2)设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝2，得c＝2， f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2ax＋a＋b＝x－1， 1 a＝，??2??2a＝1，13 ?所以即?∴f(x)＝x－x＋2. 22?a＋b＝－1，3? ??b＝－2. 2 ?1?(3)在f(x)＝2f ??·x－1中， ?x? 11 将x换成，则换成x， xx?1?得f ??＝2f(x)·x?? ?1?f（x）＝2f??·???x? 由??1?f??＝2f（x）·???x? 答案 (1)lg 1 －1， xx－1， 1－1， 21 解得f(x)＝x＋. 33 x212321 (x>1) (2)x－x＋2 (3)x＋ x－12233 规律方法 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法. (2)换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. ?1?(3)构造法：已知关于f(x)与f??或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个 ?x? 等式，通过解方程组求出f(x). 【训练2】 (1)(2018·成都检测)已知函数f(x)＝ax－b(a>0)，且f[f(x)]＝4x－3，则f(2)＝________. (2)若f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，则f(x)＝________. 解析 (1)易知f[f(x)]＝a(ax－b)－b＝ax－ab－b， 2 5
2020版高考数学新设计大一轮复习-第1节函数及其表示习题理(含解析)新人教A版
