利用导数探求参数的范围问题
利用导数探求参数的取值范围是高考考查的重点和热点,由于导数是高等数学的基础,对于中学生来说运算量大、思维密度强、解题方法灵活、综合性高等特点,成为每年高考的压轴题,因此也是学生感到头疼和茫然的一类型题,究其原因,其一,基础知识掌握不够到位(导数的几何意义、导数的应用,其二,没有形成具体的解题格式和套路,从而导致学生产生恐惧心理,成为考试一大障碍,本文就高中阶段该类题型和相应的对策加以总结.
1. 与函数零点有关的参数范围问题
函数(f x 的零点,即(0f x 的根,亦即函数(f x 的图象与x 轴交点横坐标,与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨论其图象与x 轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数交点问题,进而确定参数的取值范围. 例1【2018安徽阜阳一中二模】已知函数 为常数, .
(1当 在
处取得极值时,若关于的方程 在
上恰有两个不相等的实数根,
求实数的取值范围. (2若对任意的 ,总存在 ,使不等式
成立,求实数 的取值范 围.
思路分析:(1对函数 ,令
,可得的值,利用导数研究 的单调性,然后求得
的最值,即可得到的取值范围;(2利用导数求出在 上的最大值,则问题等价于对对任意 ,不等式
成立,然后构造新函数 ,再对
求导,然后讨论,得出 的单
调性,即可求出的取值范围.
点评:本题主要考查函数的单调性及恒成立问题,涉及函数不等式的证明,综合性强,难度较大,属于难题.在处理导数大题时,注意分层得分的原则,一般涉及求函数单调性时,比较容易入手,求导后含参数的问题注意分类讨论,对于恒成立的问题,一般要构造新函数,再利用导数求出函数单调性及最值,涉及到的技巧较多,需多加体会.
2. 与曲线的切线有关的参数取值范围问题
函数(y f x =在点0x x =处的导数'0(f x 就是相应曲线在点00(,(x f x 处切线的斜率,即'0(k f x =,此类试题能与切斜角的范围,切线斜率范围,以及与其他知识综合,往往先求导数,然后转化为关于自变量0x 的函数,通过求值域,从而得到切线斜率k 的取值范围,或者切斜角范围问题. 例2.已知函数(2x f x e ax bx =++.
(1当0 1a b ==-,
时,求(f x 的单调区间; (2设函数(f x 在点((( 01P t f t t <<,处的切线为l ,直线l 与y 轴相交于点Q ,若点Q 的纵坐标恒小于1,求实数a 的取值范围.
思路分析:(Ⅰ先明确函数定义域,再求函数导数( '1x f x e =-,根据导函数零点进行分类讨论:当
( 0x ∈-∞,时,('0f x <,因此减区间为( 0-∞,,当(0 x ∈+∞,时,('0f x >递增区间为 ,递
减区间为(0 +∞,
(Ⅱ根据导数几何意义得切线的斜率('2t k f t e at b ==++,再根据点斜式写出切线方程((
(22t t
y e at bt e at b x t -++=++-,得点Q 的纵坐标((2101t y t e at t =--<<,即不等式 (2 11t
t e at --<恒成立,而不等式恒成立问题,一般转化为对应函数最值问题::(2 (11
,01t t e a t t --> <<的
最大值,利用导数研究函数(2 (11
,01t t e y t t
--=<<单调性,为单调递减,再利用洛必达法则得2 (111 0,22
t t t e e x y t ---→=→=-,因此12a -…,也可直接构造差函数,分类讨论最值进行求解
即2e
a ≤-时,20t e a +<,所以,当(0 1t ∈,
时,('0g t <,即(g t 在(0 1,上单调递减,所以((00g t g <=,所以2e a ≤-不满足题意.③若21e a -<<-,即1
22e a -<<-时,(0ln 21a <-<, 则t 、('g t 、(g t 的关系如下表:
新课标版备战2018高考数学二轮复习难点2.1利用导数探求参数的范围问题教学案理-
