第一章习题
习题在英文字母中E出现的槪率最大，等于0.105,试求其信息量。 解：E 的信息量：I, = log, —L- = - log, P(E)= - log, 0」05 = 3.25 b
'P(E)
习题1.2 某信息源由A, B, C, D四个符号组成，设每个符号独立出现， 其出现的概率分别为1/4, 1/4, 3/16, 5/16o试求该信息源中每个符号的信息 量。
解：
J
P(A)
A =log2-7^—- = -log2 P(A) = -log2| = 2/?
4
3
/ =-log. —= 2.415/?
〃 ^16 c 亠 16
3
/ =一阳 一 = 2?415b
5
ID = —log，一 = 1.678Z?
_ 16
习题1?3 某信息源由A, B, C, D四个符号组成，这些符号分别用二进制 码组00, 01,
10, 11表示。若每个二进制码元用宽度为5ms的脉冲传输，试分 别求出在下列条件下的平均
信息速率。
(1)这四个符号等概率出现；(2)这四个符号出现概率如
习题1.2所示。
解：(1) 一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持 续时间为2x5mso传送字母的符号速率为
1
= 100 Bel RB =
2x5x107
等概时的平均信息速率为
Rb = /?B log 2 M = RR log ? 4 = 200 b/s
(2)平均信息量为
日弓吧4弓吧4 +却吧牛滸吧罟+77比特/符号
则平均信息速率为 /?b = /?B/y = 100x1.977 =197.7 b/s
习题1?4 试问上题中的码元速率是多少？
解：RH= — = —
“ TB 5*10」
= 200 Bd
习题1.5 设一个信息源由64个不同的符号组成，其中16个符号的出现概 率均为1/32,其余48个符号出现的概率为1/96,若此信息源每秒发出1000个 独立的符号，试求该信息源的平均信息速率。
解：该信息源的爛为
M =
j-i
64 1 1 96
=
r-i
= —log232+48* —log296
32
=5.79比特/符号
因此，该信息源的平均信息速率 Rh = mH = 1000*5.79 = 5790 b/s。
习题1.6 设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125 us。试 求码元速率和信息速率。
解：RB =丄=
1 =8000 Bd 125*10\
等概时，Rh =RB log2;W =8000 *log24 = 16H?/5
习题1.7 设一台接收机输入电路的等效电阻为600欧姆,输入电路的带宽 为6MHZ,环境温度为23
摄氏度，试求该电路产生的热噪声电压的有效值。
解：V = >j4kTRB = V4*1.38*10\23*23*600*6*106 = 4.57* 10\12 V
习题1.8设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度 都等于80 m,试求其最远的通信距离。
解：由 D2 = Mi ,得
D = JSrii = >/8*6.37*106*80 = 63849 km
习题1.9 设英文字母E出现的概率为0.105, x出现的概率为0.002。 试求E 和X的信息量。
解：
“(E) = 0.105 p(x) = 0.002
/(E) = -log2 P(E) = -log2 0.105 = 3.25 bit /(x) = -Iog2 P(x) = -log2 0.002 = 8.97 bit
习题1.10信息源的符号集由A, B, C, D和E组成，设每一符号独立1/4 出现，其出现槪率为
1/4,1/8,1/8,3/16和5/16。试求该信息源符号的平均信息 量。
解：
H = -工P（兀）log2卩（召）=_土吨2卜gbg2 ￡_log2卜滸Og2桔=2.23肋/符号
习题1.11设有四个消息A、B、C、D分别以槪率1/4,1/8, 1/8, 1/2传送， 每一消息的出现是相互独立的。试计算其平均信息量。
解：
H =~X P（x.）log 2 \）= 一］Og 2 + 一 ￡log 2 ￡ 一 01代替B, 10代替C, 11代替Do每个脉冲宽 度为5mso
2 ￡ 一 ￡ log 2 ￡ = 1
符号
习题1.12 -个由字母A, B, C, D组成的字。对于传输的每一个字母用二 进制脉冲编码，00代替A,
（1） 不同的字母是等槪率出现吋，试计算传输的平均信息速率。 1 1
p R = — Pe = — Pi）=—
（2） 若每个字母出现的槪率为 4, 4,
平均信息速率。
解：首先计算平均信息量。
3
10,试计算传输的
（1）
H =-工P（X）log2 p（x） = 4*（-i）*log2 = 2 bit/字母
平均信息速率=2 （bit/字母）/（2*5m s/字母）=200bit/s
（2）
I
1 1
1 1
1 3
3
^=-E P（X”）也 = -5 g - - - log2 - - - logz - - - logz - = 1 -985 bit!字母
平均信息速率=1.985（bit/字母）/（2*5nns/字母）=d9& 5bit/s
习题1.13国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续3单位 的电流脉冲表示，点用持续1单位的电流脉冲表示，且划出现的概率是点出现 的概率的1/3o
（1） 计算点和划的信息量； （2） 计算点和划的平均信息量。
P
解：令点出现的槪率为％）,划出现的频率为
p
人川 + 略冃，§乙)=々旳=*
AA)=3/4 PiB} = 1/4
⑴
/(A) = -log2 〃(A) = 0.415M 1(B) = -log, p(B) = 2bit (2)
3 3 11
H = 一》p(Xj ) log 2 p(Xj ) = -^ log 2 ^- - - log 2 - = 0.81 \\bit / 符号
习题1.14设一信息源的输出由128个不同符号组成。其中16个出现的概 率为1/32,其余门2个出现的概率为1/224o信息源每秒发出1000个符号，且 每个符号彼此独立。试计算该信息源的平均信息速率。
解
：
H = -工 p{x,) log2 卩(兀)=16 * (一右)+112 * (一 占)log 2 占=GAbit/ 符号
平均信息速率为6.4*1000= 6400bit/s o
习题1.15对于二电平数字信号，每秒钟传输300个码元，问此传码率心等 于多少？若数字信号0和1出现是独立等概的，那么传信率“等于多少？
解：心=3003
Rh=300bit/s
习题1.16若题1.12中信息源以1000B速率传送信息，则传送1小时的 信息量为多少？传送1小时可能达到的最大信息量为多少？
解：
传送 1 小时的信息量
2.23 * 1000 * 3600 = 8.028Mbit
传送1小时可能达到的最大信息量
=—log 丄= 2.32 肋 / 符 max 「5 号 先求出最大的爛:
则传送1小吋可能达到的最大信息量 2.32 * 1000 * 3600 = 8.352Mbit
习题1.17如果二进独立等槪信号，码元宽度为0?5ms,求心和％；有四 进信号，码元宽度为
0.5ms,求传码率心和独立等概时的传信率& o
Rl{ = ----------- r = 20008、R, = 2000肋 / s
解：二进独立等槪信号： 0-5*10-3
RH = 一一r = 2000B. R& = 2* 2000 = 4000肋 / s
1
四进独立等概信号：
0.5*10-3
。
第三章习题
习题3?1 设一个载波的表达式为c(r) = 5cosl000^,基带调制信号的表达 式为：m(0=d + cos2OO加。试求出振幅调制时已调信号的频谱，并画出此频谱图。
解：
$(/) = 〃?(/)c(f)= (1 + cos200 对)5COS(1000R)
=5COS1000R + 5COS200/ZTCOS1000N =5COS1000M + —(cosl 200M + cos800^r)
2
由傅里叶变换得
5(/) =-[J(/ + 500)+ J(/-500)] + -[J(/ + 600)+ J(/ -600)] +
2
|[j(/+400)+J(/-400)]
已调信号的频谱如图3-1所示。
' s（f） t -600 - 500 -400
0
400500600 5/2 | 5/4 图3-1习题3.1图
习题3.2在上题中，已调信号的载波分量和各边带分量的振幅分别等于多 少？ 解：由上题知，已调信号的载波分量的振幅为5/2,上、下边带的振幅均为 5/4?
习题3.3 设一个频率调制信号的载频等于10kHZ,基带调制信号是频率为
2 kHZ的单一正弦波，调制频移等于5kHZ。试求其调制指数和已调信号带宽。
解：由题意，已知盒=2kHZ,纣=5kHZ,则调制指数为
已调信号带宽为
B = 2（纣 + 佥）=2（5 + 2） = 14 kHZ
习题3?4 试证明：若用一基带余弦波去调幅，则调幅信号的两个边带的功 率之和最大等于载波频率的一半。
证明：设基带调制信号为m(t},载波为c(t)m4cos?/,则经调幅后,有
%(0 = [1 + W(0]ACOS Qf
已调信号的频率PAM = $爲⑴=[1 + m (0]~ A2 cos2 co^t
A1 cos' +nr(t)A2 cos2 q)f + 2〃？ (t)A2 cos2 令)/
因为调制信号为余弦波，设\〃?/)血，故 纣= 1000 kHZ = 100
in (r) = 0, m2(t)=— < —
2 2
_________ 人2
则：载波频率为
P( = A2 cos2 co^t =—
边带频率为
P、= m~(t)A2 cos2 co^t = 〃‘ \_ =—
p 1
因*兮即调幅信号的两个边林率之和最大等于载波频率―半。
习题3?5 试证明；若两个吋间函数为相乘关系，即z(t)=x(t)y(t),其傅立 叶变换为卷积关系：Z(w)=X(w)*r(w)o
证明：根据傅立叶变换关系，有
X（u）Y（co-u）du
变换积分顺序:k [X (小 丫(劲]=右匚X (“) ￡[匸 & 一 “ )d q 哙。(心哙[口3刃
?KC
2龙
2兀 J-30
=%(小⑺
又因为 则 即
Z0=x(f )M) =k[z(e)] k [Z(e)]=丹[X (e) \Z(d))= X(Q* Y(e)
习题3.6 设一基带调制信号为正弦波，其频率等于10kHZ,振幅等于1V。 它对频率为
10mHZ的载波进行相位调制，最大调制相移为10rado试计算次相 位调制信号的近似带宽。若
现在调制信号的频率变为5kHZ,试求其带宽。
解：由题意，Z?=10kH乙Am=lV最大相移为 ％ax=l°rad 瞬时相位偏移为卩⑴=kpm(t),则心=10。
瞬时角频率偏移为d “:⑴=k p% sin comt则最大角频偏= kpcom。
因为相位调制和频率调制的本质是一致的，根据对频率调制的分析，可得调 制指数 加=竺=空勺=& =10
% %
因此，此相位调制信号的近似带宽为
5 = 2(1 + “ )九=2(1 +10严 10 = 220 kHZ
若Zw=5kHZ,则带宽为
B = 2(l + mf )fln =2(1 + 10)*5 = 110 kHZ
习题3?7 若用上题中的调制信号对该载波进行频率调制，并且最大调制频 移为1mH乙试求此频率调制信号的近似带宽。
解：由题意，最大调制频移zy =1000 kHZ ,贝U调制指数
= ^- = 1000/10 = 100
故此频率调制信号的近似带宽为
s(t) = 10 cos( 2^\(7 +10 cos 2^ * 103 /)
习题3?8设角度调制信号的表达式为5(r) = 10cos(2^* 106r +10cos2^* 103r)o 试求：
(1)已调信号的最大频移；(2)已调信号的最大相移；(3)已调信号 的带宽。
解：(1)该角波的瞬时角频率为
fiXf) = 2 * 10& 兀 + 2000兀 sin 2000丹
故最大频偏
* = 10严)°兀=10 kHZ 2龙
加=过=10*竺=10
(2) 调频指数
故已调信号的最大相移△& = 10 rad o
(3) 因为FM波与PM波的带宽形式相同，即B阳=2(1 + ?)九，所以已调 信号的带
宽为
8=2(10+1 )*103 = 22 kHZ
习题 3.9 已知调制信号 m(t)=cos(2000nt)+cos(4000nt),载波为 cosK^nt, 进行单边带调制，试确定该单边带信号的表达试，并画出频谱图。
解：
方法一：若要确定单边带信号，须先求得m(t)的希尔伯特变换
mr Ct) =cos (2000nt-n/2) +cos (4000nt-nl2)
=sin (2000nt) +sin (4000nt)
故上边带信号为
SUSB(t)= 1/2m(t) cosv/ct- 7/2E
=1 / 2cos(12000nt)+1 / 2cos(14000nt)
下边带信号为
SLSB(t)=1 /2m(t) uoswcr+7/2/T?'(t丿 sinv/ct
=1 /2cos(8000nt)+1 / 2cos(6000nt)
其频谱如图3?2尸~
T
- A
SUSB (t )
G)
-1400 n -12000 ?： 12000 n 14000 x
G)
图3-2信号的频谱图
方法二：
先产生DSB信号：sm(t)=m(t)coswct=---t然E经过边带滤波器产生SSB 信号。
习题3?10将调幅波通过残留边带滤波器产生残留边带信号。若信号的传输 函数H(w)如图所示。当调制信号为e(t)=A[sin100nt +sin6000nt]时，试确定所 得残留边带信号的表达式。
解：
设调幅波 sm(t)=[m0+m^i, m0>\\m(t)\\max,且 sm(t)<->Sm(w)
H(w)
\\ / 9.5 10.5 14 f/kHz -14
-10.5 -9.5 0 图3-3信号的传递函数特性
根据残留边带滤波器在fc处具有互补对称特性，从H(叨图上可知载频 /c=10kHz,因此得载.波cos20000nto故有
sm (t)=[m0+m (t )]cos20000nt
=m0cos20000nt+A[sin100nt+sin6000nt]cos20000nt =m0cos20000nt+A/2[sin(20100nt)-sin(19900nt)
+sin(26000nt)-sin( 14000nt)
Sm (w)=nm0[a(w+20000n)+a(W-20000n) ]+jnA/2[a(w+2010On)- a(w+19900n)+a(v/-19900n)+a(v/+26000n)-a(v/-26000n) 9(w+ 14000n)+a(w- 14000n)
残留边带信号为 F(t)f 且 f(t)<=>F(w),则 F(w)=Sm(w)H(w) 故有：
F( w)=rd 2mO[a( v/+20000n)+a( w-20000n) ]+jnA/2[0.55a( w+2010On) ?0.55a(w-20100n)-0.45c( w+19900n)+ 0.45o( w-19900n)+a(w+26000rc) -o(w-26000n)
f( t)= 1 / 2m0cos20000nt+A/2[0.55sin2010Ont-0.45sin 19900nt+sin26000nt]
习题3.11设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度Pn(f)=0.5*10-3W/Hz, 在该信道中传输抑制载波的双边带信号，并设调制信号m(t)的频带限制在5kHz, 而载波为
100kH乙 已调信号的功率为1OkW.若接收机的输入信号在加至解调器 之前，先经过一理想
带通滤波器滤波，试问：
1. )该理想带通滤波器应具有怎样的传输特性H(w)? 2. )解调器输入端的信噪功率比为多少？ 3. )解调器输出端的信噪功率比为多少？
4. )求出解调器输出端的噪声功率谱密度，并用图型表示出来。
解：
1. ) 为了保证信号顺利通过和尽可能的滤除噪声，带通滤波器的 宽度等于已调
信号带宽，即B=2fm=2*5二10kHz，其中中心频率为10OkHz。 所以
H(w)=K , 95kHz
2. )
Si=1OkW
Ni=2B* Pn(f)=2料0U03P.5U0?3=10W
故输入信噪比Si/Ni=1OOO
3. ) 因有 GDSB=2
故输出信噪比So/No=2OOO
4. )
据双边带解调器的输出嘈声与输出噪声功率关系，有：
No=1/4 Ni =2.5W
故 Pn (f)= N0/2fm=0.25^10-3W/Hz
= 1/2Pn(f)
/ f! <5kHz
Pn(f)(W/Hz)
O.25*1C
-5 0 5 f/kHz
图3-4解调器输出端的噪声功率谱密度
习题3.12设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度P/i (f) ^10-3W/Hzt 在该信道中传输抑制载波的单边带信号，并设调制信号E (t)的频带限制在 5kHzo而载.频是100kHz,已调信号功率是10kWo若接收机的输入信号在如至 解调器之前，先经过一理想带通滤波器，试问：
1) 2) 3)
该理想带通滤波器应具有怎样的传输特性。 解调器输入端信噪比为多少？ 解调器输出端信噪比为多少？
解：1) H(f)= k , 1OOkHz
=0 , 其他
2) Ni=Pn(f)-2fm=0.5i'10-3^2^103=5W
故 Si/Ni=10^103/5=2000
3) 因有 GSSB= 1, So/No= Si/Ni =2000
习题3?13某线性调制系统的输出信噪比为20dB,输出噪声功率为10'9W, 由发射机输出端到调制器输入端之间总的传输耗损为100dB,试求：
1) 2)
解：
DSB/SC时的发射机输出功率。 SSB/SC时的发射机输出功率。
设发射机输出功率为ST ,损耗K=ST/Si=1O,o(1OOdB),已知
So/No=1OO- (20dB), No=1O9W
1) DSB/SC 方式：
因为G=2,
Si/Ni=1/2-So/No=5O
又因为Ni=4No
Si=50N 匸 2OONo=2UO-7W Sr=K?S上
2) SSB/SC 方式：
因为G=1,
Si/Ni= So/No=1OO
又因为Ni=4No
Si=100Nj=400No=ri07W S-^K-Si^KfiW
图3?5调制信号波形
图3-6已调信号波形
习题3.15根据上题所求出的DSB图形，结合书上的AM波形图，比较它们 分别通过包络检波器总的波形差别
解：
讨论比较：DSB信号通过包络检波器后产生的解调信号已经严重失真， 所以DSB信号不能采用包络检波法;而AM可采用此法恢复m(t)
习题 3.16 已知调制信号的上边带信号为 SusB(t)= 1 /4cos(25000nt)+1 /4cos(22000nt),已知该载波为 信号的表达式。
解：由已知的上边带信号表达式SusB(t)即可得出该调制信号的下边带信号 表达式：
求该调制
SLsB(t)= 1/4cos(18000nt)+1/4cos(15000nt)
有了该信号两个边带表达式，利用上一例题的求解方法，求得
m(t)=cos(2000nt)+cos(5000nt)
习题3.17设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度Pn(f),在该信道中传 输抑制载波的双边带信号，并设调制信号丿的频带限制在10kHz,而载波为 250kHz,已调信号的功率为15kWo已知解调器输入端的信噪功率比为1000。 若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过一理想带通滤波器滤波，求双边 噪声功率谱密度P/?(力。
解：
输入信噪比Si/Ni=1OOO
Si=15kW
Ni=2B* Pn(f)=2*15*103* Pn(f)=15W
故求得 Pn(f)=0.5^10-3W/Hz
习题3.18假设上题已知的为解调器输出端的信噪比，再求双边噪声功率谱 密度Pn(f)o 解：
GDSB=2 故输出信噪比
So/No=2Si/Ni=1OOO
所以 Si/Ni=500
由上一例题即可求得：Pn(f)=1*103W/Hz
习题3.19某线性调制系统的输出信噪比为20dB,输出噪声功率为108W, DSB/SC时的发射机输出功率为2*103W试求：从输出端到解调输入端之间总的 传输损耗？
解：已知：输出噪声功率为NO=1O9W
因为G=2,
Si/Ni=1/2-So/No=5O
因为Ni=4No
Si=5ONi=2OONo=2*1O6W
所以 损耗K^ST/SI=109
习题3.20将上一题的DSB/SC时的发射机输出功率改为SSB/SC时的发射机 输出功率，再求：从输出端到解调输入端之间总的传输损耗？
解：
因为G=t
Si/Ni= So/No=100
因为 Ni=4No, Si胡00N匸4OONO=4UO-6W
所以，损耗K^ST/SI^IO8
习题3.21根据图所示的调制信号波形，试画出AM波形。
解：
AM波形如下所示:
M(t)
图3-8已调信号波形
习题3.22根据图所示的调制信号波形，试画出DSB波形。试问DSB信号能
DSB信号通过包络检波器后产生的解调信号已经严重失真，所以DSB 信号不能
采用包络检波法
习题3.23简述什么是载波调制？常见的调制有哪些？
答：载波调制，就是按调制信号（基带信号）的变换规律去改变载波某些参数 的过 程。调制的载波可以分为两类：用正弦型信号作为载波；用脉冲串或一组
数字信号作为载波。通常，调制可以分为模拟调制和数字调制。
习题3.24试叙述双边带调制系统解调器的输入信号功率为什么和载波功率 无关？ 答：因为输入的基带信号没有直流分量，且丿是理想带通滤波器，则得到 的输出信号事物载波分量的双边带信号，其实质就是与载波s(0相乘。所 以双边带调制系统解调器的输入信号功率和载波功率无关。
习题3.25什么是门限效应?AM信号采用包络检波法解调时为什么会产生门 限效应？ 答：在小信噪比情况下包络检波器会把有用信号扰乱成噪声，这种现象通常 称为门限效应。进一步说，所谓门限效应，就是当包络检波器的输入信噪比降低 到一个特定的数值检波器输出信噪比出现急剧恶化的一种现象。该特定的输 入信噪比值被称为门限。这种门限效应是由包络检波器的非线性解调作用引起 的。
而AM信号采用包络检波法解调时会产生门限效应是因为：在大信噪比情况 下，AM信号包络检波器的性能几乎与同步检测器相同。但随着信噪比的减小， 包络检波器将在一个特定输入信噪比值上出现门限效应。
习题3.26已知新型调制信号表达式如下：sinQtsinwctf式中wc=8Q,试画
图3-11调制信号波形图
习题3.27已知线性调制信号表达式如下：
(1 +0.5sinQt)coswct
式中试画出它的波形图
两者相加即可得出它的波形图:
图3-12调制信号波形图
习题3.28某调制方框图3-14如下，已知m(◎的频谱如下面图3-13所示。 载频W/?W2,
W/>WH,且理想低通滤波器的截止频率为\\“1,试求输出信号s(0, 并说明S化丿为何种一调制信
号。
W
图3-13 的频谱
COSWlt COSW2t
?相乘器 理想低通 相乘器
sinwit sinw2t
图3-14调制信号方框图
解:si(t)=m(t)coswitcosw2t
S2(t)=m( t)sinwitsinw2t
经过相加器后所得的s(0即为：
S(t)=Sl(t)+S2(t)
=m( t)[cosw icosv/2+sinw isinw2] =m( t)cos[(wrW2)t]
由已知 W/<
s(t)-m(t)cosw2t
所以所得信号为DSB信号
第四章习题
S(t)
习题4?1试证明式厶M)专工5(/-皿)。
证明：因为周期性单位冲激脉冲信号?(f)= ￡/a-“7；),周期为耳，其傅
“■Y>
00
里叶变换
△c(e) = 2;r》F J(r-/z6?y)
—C
而
F = —f7'5⑴「叫\丄 ” T、J\；/2 Ts
所以
*7 7T X
△G(Q)=才 S 负0-〃?) n—x
1 x n—x
即
习题4?2 若语音信号的带宽在300?400Hz之间，试按照奈奎斯特准则计 算理论上信号不失真
的
最
小
抽
样
频
率
。
解：由题意，/7/=3400 Hz, A = 300 Hz,故语音信号的带宽为
B =3400-300=3100 Hz
3
fH =3400Hz = lx31OO + —x 3\\OO^nB+kB 即心，
\。
根据带通信号的抽样定理，理论上信号不失真的最小抽样频率为 k 3
;; = 2B(1 + -)=2X3100X (1 + —) = 6800 Hz
n 31
习题 4.3 若信号 s(t) = sin(314r)/314r o 试问：
(1) (2)
少个抽样值？
最小抽样频率为多少才能保证其无失真地恢复？
在用最小抽样频率对其抽样时，为保存3min的抽样, 需要保存多
解：$(f) = sin(314/)/314,，其对应的傅里叶变换为
兀/314,咋 314
S(e) = v
0, 其他
信号$(/)和对应的频谱S(e)如图 4-1 所示。所以 /,! = 3\\J2TC = 314/2兀=50 Hz
根据低通信号的抽样定理，最小频率为/s=2/H =2 x 50 = 100 Hz,即每秒采
100个抽样点，所以3min共有：100x3x60=18000个抽样值。
习题4?4 设被抽样的语音信号的带宽限制在300?3400Hz ,抽样频率等 于8000Hz。试画出已抽样语音信号的频谱，并在图上注明各频率点的坐标值。
- .SS) -3 4 0 314 % (b)
习题4?5设有一个均匀量化器，它具有256个量化电平，试问其输出信号 量噪比等于多少分贝？
解：由题意M=256,根据均匀量化量噪比公式得
(St//N(/ )|B = 201g M = 201g 256 = 48.16dB
习题4.6试比较非均匀量化的A律和“律的优缺点。
答：对非均匀量化：人律中，A=87.6; “律中，4=94.18o 一般地，当人越 大时，在大电
压段曲线的斜率越小，信号量噪比越差。即对大信号而言，非均匀 量化的“律的信号量噪比比4律稍差；而对小信号而言，非均匀量化的“律的 信号量噪比比人律稍好。
习题4.7 在人律PCM语音通信系统中，试写出当归一化输入信号抽样值 等于0.3时，输出的二进制码组。
解：信号抽样值等于0.3,所以极性码cl=10
查表可得0.3已（1/3.93, 1/1.98）,所以0?3的段号为7,段落码为\故
c.,c3c4 =110o
第7段内的动态范围为：（1 1处-3?93）心丄，该段内量化码为川，则
64
必丄+ — =0.3,可求得n ?3.2,所以量化值取3。故cscfic7c =0011o
64 3.93
所以输出的二进制码组为11100011c
16
5 6,8
习题4?8 试述PCM、DPCM和增量调制三者之间的关系和区别。
答：PCM、DPCM和增量调制都是将模拟信号转换成数字信号的三种较简单 和常用的编码方法。它们之间的主要区别在于：PCM是对信号的每个抽样值直 接进行量化编码：DPCM是对当前抽样值和前一个抽样值之差（即预测误差）进 行量化编码；而增量调制是DPCM调制中一种最简单的特例，即相当于DPCM中 量化器的电平数取2,预测误差被量化成两个电平+△和?△,从而直接输出二进 制编码。
第五章习题
习题5.1 若消息码 为 01,试求出 AMI 和
序列
+1-1 0 +10 0 -10 0 +10 0 -1
0 0 0 0 0 -1
0 0 +1 0 +1
HDB?码的相应序列。+1-1
解：AMI码为
HDB3码为
习题5.2 试画出AMI码接收机的原理方框图。 解：■^图5-20所示。
图5-1习題5.2图
习题5.3 设小⑴和弘⑴是随机二进制序列的码元波形。它们的出现槪率分别是P 和(l-P)o试证明：若戸= ------------ ------- = k,式中，￡为常数，且0<&<1,则此
1
[l-gi⑴匕⑴]
序列中將无离散谱。
证明：若卩= --------- 1
----- = k t与t无关，且0 v￡vl,则有
l-g()/g2(/)
F【g2 ⑴一 g】a)i _] 即
々I⑴=Pg2⑴- g2⑴=(P - Dg2⑴
Pg() + (l-P)g2?)=0
所以稳态波为
v(/)=P工-?7；)+(i-卩)工g? a 一川兀)
=工[际_必)+(1_呢(—呃)]=0
即代(w) = 0。所以无离散谱。得证！
习題 5.4 试证明式入0) = -4sin(2^W )￡ * H}(/ + W)sin(2/)d/。\\xH[{f)ej2^df9由欧拉公式可得
w仏⑴訂—X
H!(/)(cos2 = ￡//. (/)cos2 对70+ j￡/71 (/)sin 2W 由于H、(f)为实偶函数，因此上式第二项为0,且 /血)=2匸 0(/)cos(2 劝)酉 令9 f = f +W,d/ =d/\\代入上式得 证明：由于h[(t) = 吐)=2匚 也(广+W)cosM(广+W\］护 0(/+W)cos2 如 cos2/rtW4/+2 匚 H、(f + W) sin 2 对 7sin 2^Vtdf 由于Hi(/)单边为奇对称，故上式第一项为0,因此 〃］(/) = 2sin2^wj^ Hi(/ + W)sin2 初审 =4 sin 2刖『Hi (f+W)sin 2^'tldf 习题5.5 设一个二进制单极性基带信号序列中的“1”和\分别用脉冲g(f)［见图 5?2的有无表示，并且它们出现的概率相等，码元持续吋间等于7\\试求： (1) 该序列的功率谱密度的表达式，并画出其曲线; 图5-2习题5.5图1 ⑴由图5-21得 其他 g(f)的频谱函数为: G(w)= 由题意，p(0)=P(l)=P = l/2 ,且有g】⑴=g⑴,g2(t) =0 ,所以 q⑴=G(门,G2(/) = 0O将其代入二进制数字基带信号的双边功率谱密度函数的表达式 中，可得 C (/)专 P(1 - P)|G。) — G?(/)「+ ￡ * —X PG -W T m\\ (打+ (1一叽 22A1 T 冷 丿 r\\ x2 x _ + —V5? 丿16纟 47 4 曲线如图5?3所示。 图5.3习题5.5图2 (2)二进制数字基带信号的离散谱分量为 当m二±1时，f=±1/T,代入上式得 因为该二进制数字基带信号中存在f=1/T的离散谱分量，所以能从该数字基带信号中提 取码元同步需要的f二1/T的频率分量。该频率分量的功率为 习题5.6 设一个二进制双极性基带信号序列的码元波形g(f)为矩形脉冲，如图5-4所 3 示，其高度等于1,持续时间r=773, 丁为码元宽度：且正极性脉冲出现的概率为二，负 极性脉冲出现的概率为丄O 4 4 (1) (2) 试写出该信号序列功率谱密度的表达式，并画出其曲线； 该序列中是否存在-广=丄的离散分量？若有，试计算其功率。 1 ' T(f) 1 1 一 T/2 -r/2 i D r/2 T/2 7 图5-4习題5.6图 解：(1)基带脉冲波形g(f)可表示为： g/2 其他 g(/)的縛里叶变化为：G(f) = rSa(mf ) = ^Sa\\ 该二进制信号序列的功率谱密度为: P(n = ^(l-P)|G1(/)-G2(/)|2+ X f PG(打+ (1一叽鬧卜(八壬 曲线如图5?5所示。 图5-5习题5.6图 (2)二进制数字基带信号的离散谱分莹为 当 ni = ±l, f RS洛血訥/1冷卜存4訓/ + 36 36 因此，该序列中存在f = i/r^j离散分量。其功率为: 2 1 1 龙/3 } 亠 'sin/r/3、 1 1龙/3丿 36 习题5.7 设一个基带传输系统接收滤波器的输出码元波形力(/)如图5-13所示。 (1) (2) 试求该基带传输系统的传输函数H(f ): 若其信道传输函数C(f) = 1 ,且发送滤波器和接收滤波器的传 输函数相同,即GT(f) = GR(f)9试求此时GT(f)和GR(/)的表达式。 ，由图5-6可得力(/) = g r--j,因为g(/) 2丿 其他 T 的频谱函数G(f) = -Sa2 2 ,所以，系统的传输函数为 2(T2^ -违 (2)系统的传输函数丹(广)由发送滤波器GT(/)＞信道C(/)和接收滤波器6(/)三 部分组成，即 H(f) = C(f)GT(f) GR(/)O 因为 C(f) = 1 , GT(f) = GR(f)9 所以 GT(/)=GR(/)=7^(7)= 图5-6习題5.7图 习题5.8设一个基带传输系统的传输函数H(/)如图5?7所示。 (1) (2) 试求该系统接收滤波器输出码元波形的表达式： 若其中基带信号的码元传输速率Rti = 2/0 ,试用奈奎斯特准则 衡量该系统能否保证无码间串扰传裁 图5-7习题5.8图 解：(1)由图5-25可得//(/) = 其他 根据对称性：G(-/) g(jr),G(/) t g(r), f t 订 一＞/(),所以 hQ) = /oS(「(对'(/)。 (2)当RB=2/°时，需要以/ =心=2人为间隔对//(/)进行分段叠加，即分析在 区间［-几./。］ 亞加函数的特性。由于在［-/o./ol区间，H(/)不是一个常数，所以有码间 干扰。 习题5.9 设一个二进制基带传输系统的传输函数为 H(f) = q(l + cos2加?())朋 Sl/2q 、 ，其他 试确定该系统灵鬲的码元传输速率RB及相应的码元持续时间To 解：H(/)的波形如图5-8所示。由图可知，H(/)为升余弦传输特性，根据奈奎斯特 第一准则，可等效为理想低通(矩形)特性(如图虚线所示)。等效矩形带宽为 用.=殳丄=丄 2 2r0 最离码元传输速率 4r0 Rl{ 相应的码元间隔 Ts =1/Rg =2% 图5-8习題5.9图 习题5.10若一个基带传输系统的传输函数//(/)和式(5.6?7)所示，式中IV = IV, o (1) 试证明其单位冲激响应，即接收滤波器输出码元波形为 1 sinM/T cos?aIT h(t) = --------------------- 5一_- T rail 1一4厂/「 f ,、 (2) 码间串扰？ 若用丄波特率的码元在此系统中传输，在抽样时刻上是否存在 T 解：⑴ H(f) = 丿」 ，其他 H(f)=知(/)h + cos^-U 扣的(/) 1 + =￡ G的（/） + #G殉（/）「阿 + 扌 G铛（/）/西 其中，G。州（/）是高为1,宽为4M［的门函数，其傅里叶反变换为 G 4W, （/） o y Sa（芋） 因此单位冲激响应 | h(t^-Sa(—) + -Sa ■2^(r-T/2f . T 冷S。（竽）-护严 -)——_2^(r + T/2)' Sci . 2T . T _ T 丿 1-丁2/4尸 1 ' l-T2/4r = *S“(弓) T T I 1 1_ 4/2/4 尸 _ 1 sinzzr/T cosTU/T \ra!T l-4r2/T2 （2）由加/）的图形可以看出，当由1/T波特率的码元在此系统中传输，在抽样时刻上 不存在码间串扰。 习题5.11 设一个二进制双极性随机信号序列的码元波形为升余弦波。试画出当扫描 周期等于码元周期时的眼图。 解：当扫描周期等于码元周期时的眼图如图5?9所示。 图5-9习题5.11图 习题5.12 设一个横向均衡器的结构如图5?10所示。其3个抽头的增益系数分别为: C_] =一1/3, Co = 1, C]=-l/4 o若x(0在冬点的抽样值依次为： x^2 = 1/&X- = 1/3,心== 1/4,x2 = 1/16 ,在其他点上其抽样值均为Oo试计算x(t) 的峰值失真 值，并求出均衡器输出y(t)的峰值失真值。 图5-10习题5.12图 1111 -+_+_+—= 8 3 4 16 N 由儿=，可得 J— 37 48 JV 3 8 厂 24 11」1 y_3=C_^=-lxl =丄 ]■ 小 儿 2 = C-\\x-\\ + QX-2 =~-X~ + 1X- = — CX >-1 = C-丙 + 0-\\ + C-\\X-2 =_|xl + lx^+ _土卜￡ =-右 儿=C_]X] + Coxo + C_XX_X =-|x-^- + lxl+ _￡><* = � >'l =C_]X2 +C0Xj 4-C.jXo =--X —+ lx —+ ^-— X 1 = 1 1A 1 y2 = Cox2 + CtX)= 1 x — + -- x- = 0 16 I 4丿 4 1 X 其余儿的值均为0,所以输出波形的峰值失真为: 16 71 丄+丄+丄+丄+0+丄! 1.24 72 32 48 64 ~480 丿 习题5.13设有一个3抽头的均衡器。已知其输入的单个冲激响应抽样序列为 -0.2, 1.0, 0.4,0.1o 一 = 0.1,0.2, (1) 试用迫零法设计其3个柚头的增益系数C” ： (2) 计算均衡后在时刻k=0,±1, ±2, ±3的输出值及峰值码间串扰 的值。 解：⑴其中 I =°2兀.]=-0.2, x0 = 1.0,%! =0A,X2 = -0.1 》C九 一 =0, k = ±1,±2,???，土 N ,和2N+仁3,可列出矩阵方程 i?一N j?一N 工 = o,R = o 心 X-] x_2 C； C。 = 1 Xo _ _G_ o 0 X] ￡将样值心代人，可得方程组 A '-2~ c° = 1 o _C._ 0. 解方程纽可得, C“ = 0.2318,C() = 0.8444.C] =—0.3146。 N (2)通过式儿=力可算出 yQ = 1,儿=0, ” = -0.4371,儿? = —0.0232, y2 = 0.1946, 其余儿=0 = 0.0613 ,y3 = 0.0215 输入峰值失真为： D -v=—Skd = 1」 人0妇YC 如0 2 二丄 1 = 0.7377 >0化 代=0 1 x 输出峰值失真为： 均衡后的峰值失真城小为原失真的0.6706o 习题5.14 设随机二进制序列中的0和1分别由&⑴和g(T)组成，它们的出现槪率 分别为 P及(1-p)o (1) 求其功率谱密度及功率。 (2) 若&⑴为如图5-6(a)所示波形，人为码元宽度，问该序列存在离散分量人=\人 否？ (3) 若&⑴为如图5-6 (b),回答题(2)所问。 解： (1) P\ = 4〃(1-P)|G(/)『+ f |/v[(2/;-l)G(n!/；)]|2J(/-O “I—X [-^x -*-x- s = — \\psMdw=fps(Ddf 其功率 X y < 彳[4〃(l-\「+ J； |￡[(2p_l)G(哦)]f —pc， d(f-mfs)]df 1)1 ■—oc =4加(l — p)了|G(于问+ 尸(2卩-1)2 f |G?)|2 —X 00 (2) g(f) = l」f|“/2 0,其它 sin njTs G(f) = Ts g(t)傅里叶变换G(f)为 G(￡) = 7； sin 叮\丁 sin/r =。 叭兀 =' — = 由题(1) 中的结果知，此时的离散分董为0? (3)若 g(f) = \\\\t\\ 0,其它 g(t)傅里叶变换G(f)为 G屮=丄 2 2 所以该二进制序列存在离散分量人=\人。 习题5.15设菜二进制数字基带信号的基本脉冲为三角形脉冲，，数字信息“1”和“0” 分别用g(°的有无表示，且“1”和“0”出现的概率相等： (1) 求该数字基带信号的功率谱密度。 (2) 能否从该数字基带信号中提取码元同步所需的频率斤=1/人的分童?如能，试计 算该 分量的功率。 解： (1) 对于单极性基带信号，g2(/)= ° = g(0,随机脉冲序列功 率谱密度为 当p=1/2时, 由图5-7 (a)得 g(t) = 0,其它t g(t)傅里叶变换G(f)为 G（f） = ^Sa2 代入功率谱密度函数式，得 2加 乙 4 FK—00 F 5（/-帧?） 7tm 5（/-〃讥） (2)由图5?7(b)中可以看出，该基带信号功率谱密度中含有频率fs=l/Ts的离散分 量， 故可以提取码元同步所需的频率fs=1/Ts的分董。 由題(1)中的结果，该基带信号中的离散分量为P/w丿为 A2 Y enm ?(/一必) （f）=—xs^4 1 ° w?—w 当m取±1时，即f= 土人时，有 W) 违巩非d)+寺 S = — Sa 4 2A2 7F4 所以该频率分量的功率为 16 习题5.16设菜二进制数字基带信号中?数字信号r”和“0”分别由 及 表示, 且3”与“(T出现的概率相等.是升余弦频谱脉冲，即 7Tt COS g（/） = (1) (2) 写出该数字基带信号的功率谱密度表示式，并画出功率谱密慶图：从该数 若码元间隔Ts=10-3s,试求该数字基带信号的传码率及频带宽度。 字基带信号中能否直接提取频率fs=1/Ts的分量。 解：当数字信息和壮0”等概率出現时，双极性基带信号的功率谱密度 C (/)=￡|GCO 「 TCt g（/） = \\ ,其傅氏变换为 T 二（l + cos〃7J|/|S_ G（f） = < 4 丿\T5 I 0,其它f T | ^（/）= ^（l+cos/^）2,|/|<- 代入功率谱密厦表达式中，有 习题5.17 设某双极性基带信号的基本脉冲波形如图5-9(a)所示。它是一个高度为 1,宽度 得矩形脉冲，且已知数字信息“ ”的出现概率为3/4, 1/4o “0\的出现概率为 (1)写出该双极性信号的功率谱密度的表示式，并画出功率谱密度图； (2) 由该双极性信号中能否直接提取频率为fs=l/Ts的分量？若能，试计算该分 量的 功率。 解: (1)双极性信号的功率谱密度为 E（/） = 4￡P（1-P）|G（Q『+ X I￡（2p-1）G（帧）2（/-帧） 加—9C 当p=1/4时，有 由图5-7 (a)得 t\\t\\ 0,其它t 故w册we 将上式代入匕\的表达式中，得 +务2 X &/（和的/（/-〃讥） q pt—x 代入上式得 只(/)= 12 ￡曲(切/2)负/-必) 36 功率谱密度如图5-9 (b)所示。 (2) 由图5?9(b)可以看出，由该双极性信号可以直接提取频率为fs=1/ls的 分量。该基带信号中的离散分量为吒(2)为 巴(初=专 Z Sa2(^mf2)5(f-mfs) 30 f；t—X 当m取±1时，即f= 士人时，有 化 3)=丄曲(兀/3疋(/-/.) + 2 曲(\ 3o 3o fx=— 所以频率为 人分量的功率为 1 21 23 S = — Sa /3) + — Sa(7T/3)=— 3636 8矿 习题5.18 已知信息代码为1,求相应的AMI码，HDB3码，PST码及双相码。 解： AMI 码：+1 0000 00000 - 1 +1 HDB3 码：+1 000+V -BOO -V0 +1 - 1 PST码： ①(+模式)+0 ? + ? + ? + ? + +? ②(?模式)-0 - + - + - + - + +- 双相码：10 01 01 01 01 01 01 01 01 01 10 10 习题5.19 角形脉冲。 某基带传输系统接受滤波器输出信号的基本脉冲为如图5-10所示的三 (1) 求该基带传输系统的传输函数H(w); (2) 假设信道的传输函数C(v/)=1,发送滤波器和接受滤波器具有相同的传输函 数. 即G(w)=GR(w),试求这时GT(w)或GR(vv)的表达式。 解： ⑴由图5?10得 T 2 2 0,其它t 基带系统的传输函数H(w)由发送滤波器 (VV) ,信道C(w)和接受滤波器 G2)组成，即 H(W)= GT (W)C( W)GR ( W) 若 C(vv) = 1 Gr(w) = GR(W) 习题5.20 设某基带传输系统具有图5?门所示的三角形传输函数： (1) 求该系统接受滤波器输出基本脉冲的时间表示式； (2) 当数字基带信号的传码率RB=wO/ n Bt,用奈奎斯特准則验证该系统能 否实现 无码间干扰传输？ (1) 由图5-11可得 屮、J(i-丄 H(w) = ] % 0,其它的w 该系统输出基本脉冲的时间表示式为 h(f)=丨 j H(w^e^'dw = * —X (2) 根据奈奎斯特准則，当系统能实现无码间干扰传输时，H (w)应满足 VV < — = 容易验证，当 H“(w)人w 吋, I 兀 工 H(w+￥)= C,|半彳 工H（W+斜）=工//（w+2咖）=工心+ 2WJ）丰C i ' $ r r RH =_1 所以当传码率\龙时■系统不能实现无码间干扰传输 习题5.21 设基带传输系统的发送器滤波器，信道及接受滤波器组成总特性为 H(w),若要 求以2/ls Baud的速率进行数据传输，试检验图5-12各种H(w)满足消除抽 样点上无码间干扰的条件否？ 解： 当RB=2/ls吋，若满足无码间干扰的条件，根据奈奎斯特准则，基带系统的 总 特性H(w)应满足 工 H（w+2兀 RJ） = C,|vv| < 兀 RR H“（w） 0, Ml > 兀RR 2^-） = C,|vv|< 工 H（w + H/w） 或者 龙 2/r >—— 容易验证,除(c)之外，(a) (b) (d)均不满足无码间干扰传输的条件。 习题5.22 设某数字基带传输信号的传输特性H(w)如图5-13所示。其中a为某 个常数(0WaW1)。 (1) 试检验该系统能否实现无码间千扰传输？ (2) 试求该系统的最大码元传输速率为多少？这是的系统频带利用率为多大？ 解： (1)根据奈奎斯特准则，若系统满足无码间干扰传输的条件，基带系统的总特性 乞H（w+ 2咖）=C]w\\ < nRB i H(w)应满足 可以验证，当RB=v/O/ n时，上式成立。几该系统可以实现无码间千扰传输。 (2)该系统的最大码元传输速率Rmax,既满足Heq(w)的最大码元传输速率 RB,容易得到Rmax=wO/n 系统带宽 B = (1 + °)=(1 + °)叫)/ 2兀日乙,所以系统的最大频带利用率 为： 〃=乩即兀=丄 B (1 + &)叫)(1 + a) 云 习题5.23 为了传送码元速率心=1。Baud的数字基待信号，试问系统采用图 5-14中所画的哪一种传输特性较好？并简要说明其理由。 解： 根据奈奎斯特准则可以证明(a), (b)和(c)三种传输函数均能满足无码间干扰 的 要求。下面我们从频带利用率，冲击响应“尾巴”衰减快慢，实现难易程度等三个 方面分析对比三种传输函数的好坏。 (1)频带利用率 三种波形的传输速率均为“\，传输函数(a)的带宽为^° =1 3 Hz 其频带利用率 久=RJ B{,=\\ 000 /1000 = 1 Baud / Hz. 传输函数(c)的带宽为Be = 10? Hz 其频带利用率 显然 所以从频带利用率角度来看，(b)和(c)较好。 久=RB!BC=\\ 000 /1000 = 1 Baud / Hz (2) 冲击响应“尾巴”衰减快慢程度 (a), (b)和(c)三种传输函数的时域波形分别为 ha(t) = 2*103Sa2(2*103^r) 心(/) = 2*10临“(2*10'肝) 2 /7t.(r) = 103S?(103^/) 其中(a)和(c)的尾巴以1/尸的速度衰减，而(b)尾巴以1/t的速度衰减，故从 时域波形的尾巴衰城速度来看，传输特性(a)和(c)较好。 (3) 从实现难易程度来看，因为(b)为理想低通特性，物理上不易实现，而(a) 和(c) 相对较易实现。 综上所述，传输特性(c)较好。 习题5.24 设二进制基带系统地分析模型如图5-2所示，现已知 r0(l+cos wr0),|vv|< — ro 0,其它的w 试确定该系统置爲的码元传输速率RB及相应码元间隔=? 解： 传输特性H(w)为升余弦传输特性。有奈奎斯特准则，可求出系统最商的码 元速率产Baud,而Tx = 2r°o 习题5.25 若上题中 + COS vv—)JMI < 2 1 1 0,其它的w 试证其单位冲击响应为 并画出h(t)的示意波形和说明用\人Baud速率传送数据时，存在(抽样吋刻上)码间 干扰否？ 解： H(叨可以表示为 可 傅式变换为 所 T T 7 T 7 2/r(f +寸) 丁 7 2/r(f— 才) /?(/) = —* — Sa(^—) + —* — Sa( ---------- ) + —* — Sa( ------------ ) 2 7； Ts 4 Ts Ts 4 Ts 7； 2肝1 2兀(/ +牛)i 2兀(/-牛) =Sa(-) + - SH―厂-)+ - SH―厂-) =5^(—) - Sa(—) * ——J~~- T Ts l-7v2/4r2 = s?(—)*(1 ----------- !7) 7； l-T.2/4r =Sa(^~) * ( ------- \\ ----- 7) Ts \\-4t2/T/ _ sin 7rt /Ts * cos nt I Ts m/Ts 1一\7；2 T RB 当传输速率 丄 人Baud时，将不存在(抽样时刻上的)码间千扰，因为h(t)满足 h(KTs) =〈 1^=0 0*为其它的整数 习题5.26 设有一相关编码系统，理想低通滤波器的裁止频率为1/(2ls),通带增益 为TSo试求该系统的单位冲击响应和频率特性。 解： 理想低通滤波器的传递函数为 7T 0,其它的W h⑴=s“ (尹) 其对应的单位冲击响应 所以系统单位冲击响应 $ h⑴=师)一 J(r-27；)]* h (r) = h (t) -h (f- 27；) = sa(^t)-sa[^(t-2Tx)] Q1—宀珂岡彩 =1 系统的频率特性H3)= [l一严]77(⑷) h 0,其它的w 27； sin WTSAW\\<^ 旳训= ''7； 0,其它的w 习题5.27若上題中输入数据为二进制的，則相关编码电平数为何值？若数扌居为四进制 的，则相关编码电平数为何值？ 解 相关编码表示式为G ='+$-2 若输入数据为二进制(+1,-1),则相关编码电平数为3：若输入数据为四进制 (+3,+1,-1<3),则相关编码电平数为7o 一般地，若部分相应波形为 sin 7rt /Ts sin n(t-Ts)IT5 + Rr F ga)=E 7tt !TS \、I7\\ sin^(Z-(7V-l)T)/r 输入数扌居为L进制，则相关电平数 厶-1)￡ R|+1 1 V；=ASiln^ 习题5.28试证明对于单极性基带波形，其最佳门限电平为 2 2A \」) (r”和“o”等概出现时) 证明 对于单极性基带信号，在一个码元持续时间内, 抽样判决其输入端得到的波形可表示为 A + nx(t)发送 “]?时 发送“0?时 其中“R⑴ 为均值为o,方差为的高斯噪声，当发送“4”时，x(t) 的一维槪率密度为 八、 1 r W[-可日 而发送“0”吋，x(t)的一维槪率密度为 若令判决门限为Vd,则将r ”错判为“0”的概率为 Pd=p(x U-A)2 ]dx 将“0\错判为“1”的概率为 P^ = p^>vd}= [ — exp[--^Xv 若设发送S ”和“0”的槪率分别为p⑴和p(0),则系统总的误码率为 Pe = 〃⑴几 +〃(0)巴2 血=0 令〃9 . ,得到最佳门限电平\即解的最佳门限电平为 V； = 2A p⑴ 习题5.29若二进制基带系统，已知 勺. (1) 若\的双边功率谱密度为2 率； (W/Hz),试确定Gf<(W)得输出噪声功 (2) 若在抽样时刻KT(K为任意正整数)上，接受滤波器的输出信号以相同槪 率 取0, 4电平，而输出噪声取值V服从下述槪率密度分布的随机变量 试求系统最小误码率Pe. 解： (1) GR(w)的输出噪声功率谱密度为 接受滤波器GR(w)输出噪声功率为 (2) 设系统发送“1”时，接受滤波器的输出信号为4电平，而发送“0”时， 接受 滤波器的输出信号为0电平。若令判决门限为Vd,则发送“1”错判为“0” 的槪率为 发送“0”错判为“1”的槪率为 设发送“1”和“0”的槪率分别为p(〃和p(0),则总的错误概率为 习题5.30某二进制数字基带系统所传送的是单极性基带信号，且数字信息r”和 “0” 的出现概率相等。若数字信息为“1”时，接受滤波器输出信号在抽样判决时刻 的值A=1V, 且接受滤波器输出噪声是均值为0,均方根值为0.2V的高斯噪声，试求这吋的误码率Pe; 解： 用p⑴和p(0)分别表示数字信息和“0”出现的槪率.则p⑴=p(0)=1/2, 等概吋，罠佳判决门限为VP二A/2=0?5V?已知接受滤波器输出噪声是均值为0,均方 根值为0.2V误码率 习题5.31若舟上题中的单极性基带信号改为双极性基带信号，其他条件不变，重做上 题。 解： 等概时釆用双极性基带信号的几代传输系统的最小误码率 习题5.32 设有一个三抽头的时域均衡器，x(t)在各抽样点的值依次为x -2=1/8 x -1=1/8, x 0=1, x +仁1/4, x +2=1/16(在其他抽样点均为零),试求输入波形x(t)峰值的畸 变值及时雨均衡 其输出波形y(t)峰值的畸变值。 解 xk的峰值的畸变值为 1 I 1 1 37 —I --- 1 H ----- = 8 3 4 16 48 有公式 N 儿=工CiXz a 得到 = (J Y = — _ * _ = — __ ?3- -2 3 8 24 y .=C .x } +Cox . =--*丄 + 1*丄=丄 一2 -1 -1 0-2 3 3 8 72 y_i =c_i-^o+cox-i +c(d-2 =_**1 + ］冷+(_扌)冷=_右 ^0 =C_1*1 + C()xu + CjA-.j =--*-+1*1 + ( _■)*-=-- 3 4 4 3 y 严 CM+C^+C丙=—卜2 + 1* +(一\\*1\命 3 16 4 4 y2=Cox2+C,x, =1*-1 + (-1)*1 = 0 1 64 6 48 16 4 其余yk值为Oo 输出波形yk峰值的畸变值为 ―丄茲1=5（丄+丄+丄+丄+。+丄* v 儿? 5 24 32 72 48 64 71 480 第六章习题 习题6.1 设有两个余弦波：3cosm和cos（m + 30。），试画出它们的矢量图 及它们之和的矢量图。 解：如图6-1所示。 COS（Q/ + 30°） 3cosi?r + cos（曲+ 30°） 图6-1习題6.1图 习题6?2试画出图6-2中各点的波形。 解：各点波形如图6?3所示。 d JI__ I 图6-3习題6.2图 I―I L 习题6.3试画出图6?4中各点的波形。 图6-4习题6.3图 解：各点波形如图6?5所示。 c /VW^_A/W\\/VW\\ /vw\\ d /~\\ f A (~\\ JL_J __________ I L 图6-5 习题6.4试证明式円（旷）=几（旷）。 证明：在对ASK信号进行包络检波时，整流器输出信号经过低通滤波后得 到的包络电压V（t）满足：当发送“們时，它服从广义瑞利分布；当发送“0\时, 分布，即概率密度为 第”宀‘）宓，发送电”时 p（y）=< 发送“0”时 当发送码元“1”时，错误接收为“0\的槪率是包络V 它服从瑞利 二1-Q临血） 式中，r = A2/2a；,为信噪比；ho = h/orn为归一化门限值。 同理，当发送码元9\时，错误接收为“仁的概率是包络V>h的概率，即有 因此总误码率为 尺=R1)匕 + P(O)Eo =刚1- 0“万九)1+ p(oh# 上式表明，包络检波法的误码率决定于信噪比r和归一化门限值仏。要使误 码率最小，即使图6?6中两块阴影而积之和最小。由图可见，仅当几位于两条曲 线相交之处，即 /“==/“；时，阴影面积最小。因此，设此交点处的包络值为V, 则满足A(V)=Po(V*)。得证。 图6-6习題6.4图 习题6.5设有一个2PSK信号，其码元传输速率为1000Bd,载波波形为 Acos(4^*x 106r)o (1) (2) 功率谱密度的表达式。 解：(1)由载波波形为Acos(4^xl06/)可得，载波频率为2xl06Hz,因此每 个码元中包含 试问每个码元中包含多少个载波周期？ 若发送“0\和“1\的槪率分别是0.6和0.4,试求 此信号的 2000个载波周期。 (2) 2PSK信号的功率谱密度为 即 PSK (/)=护(/-￡) + C (/+ ￡)] 式中，fc =2X106HZ,为载波频率，fs = 1000 ;只?为基带信号双极性矩形 脉冲的功率谱密度: PAf) = 4\(川 + ElX(2P- G(/) = 7； sin n f Ts PZDPSK (/)= Ml - P)kr『+ |G(/ + ￡ 卅+ \\f；(2P -1)2 |G(of 卜“ -￡?)+ 5(/ + 厶)] j ^(/-2xl06) J 1000 /-2xl06 10-2[^(/-2X106)+J(/ + 2X106)] 习题6.6设有一个4DPSK信号，其信息速率为2400 b/s,载波频率为1800 Hz,试问每个码元中包含多少个载波周期？ 解：4DPSK信号的码元速率为 心=/?b/log2 4 = 2400/2 = 1200 Bd 所以每个码元中包含1^22 = 1.5个载波周期。 9 ■ 亠 ^(/ + 2xl06)2 4- 1 OUl 1000 6 / + 2xl0 1200 习题6.7设有一个2DPSK传输系统对信号采用A方式编码，其码元速率为 2400 Bd,载波频率为1800 Hz?若输入码元序列为011010,试画出此2DPSK信 号序列的波形图。 解：如图6-7所示。 习题6.8设一个2FSK传输系统的两个载频分别等于10 MHz和10.4 MHz, 码元传输速率为2xl06 Bd,接收端解调器输入信号的峰值振幅A = 40//V,加 性高斯白噪声的单边功率谱密度舁。=6x10\试求： (1) (2) 釆用非相干解调(包络检波)吋的误码率; 采用相干解调时的误码率。 解：(1) 2FSK信号采用非相干解调时的误码率。 信号带宽为 B = \\fi-f0\\ + 2Rli =0.4x10°+2x2x10° =4.4x10° Hz 广_ ” _(40xl0^)2 _ 1600xl0-12 '_ 迓 2n^B 2X6X10_,8X4.4X106 _ ' _3? 因此，￡=丄*讥= ]31xl0-7。 2 (2) 2FSK信号采用相干解调时的误码率为 1 __ P. = — erfc Jr/2 广 >> 1 2 习题6.9设在一个2DPSK传输系统中，输入信号码元序列为00,试写出其 变成相对码E的码元序列，以及采用A方式编码时发送载波的相对相位和绝对相 位序列。 解：原 码：0 1110 0 1 1 0 1 0 0 0 相对码：0 绝对相位：0 相对相位：0 10 111 0 1 1 0 0 0 0 TT TT TT 0 0 n n 0 n 0 0 0 n 0 n n n 0 n n 0 0 0 0 习题6.10试证明用倍频?分频法提取2PSK信号的载波时，在经过整流后 的信号频谱中包含离散的载频分量。 证明：2PSK信号经过倍频?分频电路后，输出信号频率与载波频率相同， 但此时信号中不再仅有交流成分，而是包含直流成分，根据第5章的知识可知： 包含有直流成分的周期信号(频率与载波相同)的频谱中包含离散的载频分量。 习题6.11试画出用正交调幅法产生16QAM信号的方框图。 解：如图6?8所示。 图6-8习题6.11图 习题6.12试证明在等概率出现条件下16QAM信号的最大功率和平均功率 之比为1.8；即2.55 dBo 解：等概率条件下，QAM信号的最大功率与平均功率之比为 呼-1)' 2士⑵— 1)2 1=1 对于 16QAM 来说，L=4,因^^16QAM = 1.8 = 2.55 dBo 习题6.13试比较多进制信号和二进制信号的优缺点。 解：当传码率相同时，多进制信号比二进制信号更多地携带信息量，因此， 其传信率高于二进制。这样在占用相同信道带宽的情况下，多进制的频带利用率 高于二进制。 当传信率相同时，多进制信号的码速低于二进制信号，从而占用较小的信道 带宽。 利用多进制信号传输的主要缺点是，其抗噪性能比较差，只有当信道噪声比 较小时才能保证有足够小的误比特率。 第七章习题 习题7.1 在插入导频法提取载频中，若插入的导频相位和调制截频的相位相同，试重 新计算接收端低通滤波器的输出，并给出输出中直流分量的值。 解：接收低通滤波器的输入为： 50(r)sin 如=(Azn(r)sin ?* + Asin e()/)sin =(Ani(t) + A) sin 如 sin 如 =—(Am(t) + A)(l -cos2d>00 2 接收低通滤波器的输出为： SLPF(O = 可以看出，输出中的直流分量的值为： ) + A) Sdc(t) = A/2 习题7.2 设载波同步相位误差<9 = 10°,信噪比r = 10dBo试求此时2PSK信号的 误码率。 解：Pc = —erfc?Tcos^)=丄erfc(VTOcoslO°)心丄erfc(3.114) ? 5 x 10~6 2 2 2 习题7.3试写出存在载波同步相位误差条件下的2DPSK信号误码率公式: 解：非相干2DPSK 相干2DPSK Pc =丄 crfc (、/7cos0)| 1-丄 erfc(、\cos&) 2 \\ 2 y 习题7.4 设接收信号的信噪比等于10dB，要求位同步误差不大于5%。试问应该如何 设 计窖带滤波器的宽带才能满足上述要求？ 解：由题意得： 同步误差—=t T J10KE” < 5% , 信噪比—= 10dB = 10 o 推得 4 = 0.33/710^ <0.05,則 7C> 4.356 o 习M 7.5 设一个5位巴克码序列的前.后都是：“+1”码元，试画出其自相关函数曲 线。 解：该巴克码序列为：+(+++—+)+,计算可得自相关函数为： R ⑼=5, /?(!) = 2, R(2) = L R(3) = 0,7?(4) = 1, /?(5) = 2、7?(6) = 1 由此画出巴克码(N=5)的自相关函数曲线如图7?1所示。 巴克码(N = 5)自相关函数曲线 I 9 4.5 I r 3.5 总2.5 2 1.5 0.5 9 图7-1习題7.5图 习题7.6设用一个7位巴克码作为群同步吗，接收误码率为10_。试分别求出容许错 误数为0和1时的漏同步概率。 解：需检验的同步码元数/? = 7 ,检验吋容许错误的最大码元数〃2 = 0或1,接收码元 错误槪率〃 =1()7。 当〃2 = 0时，漏同步槪率为 nt 此=1-工C；”Q-旷=l-(l-10-4)7 ^7x10“ r-0 当〃2 = 1时，漏同步槪率为 m 片=l_》C：“「(l_“yi =l-(l-10-4)7 -7X 10-4 X(1 -10-4)6 ?4.2x 10\9 r-0 习题7.7 在上题条件下，试分别求出其假同步概率。 解：条件同上題。 当〃2 = 0时，假同步槪率为： m 工 C： ] 7 1 2\ F 128 当〃7 = 1时，假同步槪率为： in P 2n _ _C；+C； _1 + 7_ 1 7 _128_16 2 习题7.8 设一个二进制通信系统传输信息的速率为100b/s,信息码元的先脸槪率相 等，要求假 同步每年至多发生一次。试问其群同步码组的长度最小应设计为多少？若信道误 码率为10-5,试问此系统的漏同步率等于多少？ 解：(1) in = 0时，令相应式中尸=0,得 /?! = 1 -C^P°(1 -P/,_o) = 1 -P°(l-P/,_o) = 1 -(1 -10-4)7 U 1-(1—7x10-) = 7x107 P, = 2~\ = 2\ =2-7 =7.8215x1()7 tx =(14-^+^)A75 = (l + 7xl0-4+7.8125xl0~3)x(153+7)xlxl0-3?161.3ms (2) m=1时，可得 p, = 1 -C,>°(1 -P),,_o -C*P*(1 -P)M_, =l-(l-10^)7 一7x107(1-1()7)6 ?1-(1-7X10_4)-7X10-4 X(1-6X10_4) = 4.2X10_7 P( = 2~n (C + C*) = 2-7 (1 + 7) = 6.25 x 10-2 ts =(1 +叶 +Pf)/V7\\ = (l + 4.2xl()T 4-0.0625)x(153 + 7)x 1 x 10-3 ? 170ms 习题7.9 设一条通信链路工作在标称频率10GHz，它每天只有一次很短的时间工作， 其中的接收机锁相环捕捉范国为土 1kHz。若发射机和接收机的频率源相同，试问应选用哪 种参考频率源？ 解：标称频率/() = 10 GHz ,发射机和接收机参考频率间的误差A/' = 1 kHz o則每天 最大容许误差为 /o 10x109 所以参考频率源可以选择高质董的晶体按荡器，其5的取值范围为10-9 ~ 10\。 习题7.10 设有一个探空探测火箭以15km/s的标称速度离开地球，其速度误差为 ±3m/s,探测器上的参考频率漂移速率不大于10\9Hz/(Hz-day),标称下行传输频率为 8 GHz,火箭经过30天飞行后才开始向地球终端站发送消息，地球站釆用艳原子钟。试求 地球站应该应用的中心频率和频率搜索宽带。 解：相对速/1V=-15 knVs (距离增长)，发射机的每天最大容许误差J = W9,标称 发送频率为/0 = 8 GHz ,时间T = 30天，初始频率偏移歹(0) = 0,由于地球站应用锂原 子钟，所以接收站的每天最大容许误差3 = 10」 4 地球站应该釆用的中心频率为: -15x10 3x10s x8x!09 =8.004xl09 30天后探测器上发射机的频率偏移为 ⑴=九[+ 4/(0) = f何 + 0(0) = 8x 10y X10\ 30天后地球站的接收机的频率偏移为： y?)= /[&〃+ 纣(0) = /刃 + 纣(0) = &004 x 109 x 10_,3 x 30 + 0 = 0.0240012 Hz 所以地球站应该采用的频率搜索带宽为： 2 = 2^(30) = 480 Hz 第八章习题 习题 & 1 试证明式 P(O)/o (r)- P(1 )厶(r)< 0 和式 P(O)/o(r) < P(1 )/Q)。 证明：由教材知，一个二进制系统的总误码率为 PC = P(D￡ /OW+P(O)L 九(门〃 式中，P(0)和P⑴分别为发送码元“0”和“1”的先验槪率；/0(r)和/](门分别为出现“0” 和“1”码元吋厂(/)的概率密度函数。 对于接受信号厂，假定划分点为心，将接受信号空间划分为血和儿，如图87所示。 图8-1习题8.1图 p. = P ⑴匸 /1 (M + P(0)「/o (讪 即 p(i)￡(G — p(o)人仇)=0 对于落入A］区间内的r>⑺此时 P(l)/“) - P(O)M)> 0 P(O)M?)vP(l)/(?) 习题&2试求出例8.1中输出信号波形几(0的表达式。 1, 0 解：由= < 叶\可得匹配滤波器的特性为 0.其他 /?(/) = s(T-/)= 1, 0 其他 输出信号波形的表达式为 0 s(t 其他 习题8.3设一个二进制基带传输系统的传输函数为 = < — t、 T T(l + cos27i/T), |/| = 1/2 丁 0, 其他 式中，H(/) = GT(/)C(/)GR(/), C(/) = l, GT(/) = GR(/) = VW5。 (1) 若接受滤波器输入输出端的双边噪声功率谱密度为f/2 (W/Hz)，试求接收滤波器输出噪声功率。 (2) 若系统中传输的是二进制等概率信号，在抽样时刻接受滤波器输 出信号电平取值为0或A,而输出噪声电压N的概率密度函数为 f(N) = —e'|jV| 2X X>0 (为常数人 试求用罠佳门限时的误码率。 解：(1)由接受滤波器GR(J)输入噪声的双边功率谱密度为nJ2 ,可得其输出噪声双 边功率谱密度为 由题意得 |GR(/)|—(/) 故 几(/) = = yT(l + cos2i/T) 接受滤波器输出噪声功李为 NQ=匸;PMyif =匸；今 丁(1 + COS2MM =号 (2)对于二进制等槪率信号，系统误码率为 Pc = P(? )P($o/耳)+ P(sQ)P(si /%)= g [p($o A1)+ P(S| /%)] 设判决门限 为vd,則此单极性系统的差错概率分别为 P(So A1) = j2 fi(X)必, P(sjs° ) = j^/o (x)dx 式中，/】(x)和九(x)分别为竹”码和“0”码所对应的抽样信号的概率密度函 /i? = ^yexP 他们的图形如图8-2所示。 由图8?2可以看出，当Vd = A/2时，总误码率为最小值，此时 P（Su/s】）= P（s】/so） 习题&4设二进制单极性信号传输系统中信号“0”和“1”是等概率发送的。 (1) 若接收滤波器在收到“1”时，在抽样时刻的输出信号电压为1 V, 输出的鬲斯噪声电压平均值为0V?均方根值为0?2V,试问在最佳判决门限下 的误码率等于多少？ (2) 若要求误码率不大于IO\4,试问这时的信号电压至少应该多 大？ 解：(1)由题意，噪声的方差be=0?2 V,则噪声平均功率Pn = g Pn 0.04 对于二进制单极性传输系统，最佳判决门限下的误码率为 P.=丄 erfcCjEj仇)=-erfc(A/l 2.5/4)=丄 erfc(j3.125) = 0.0062 2 2 2 (2)若要求<10^,假定信号电压为儿 即 可求得A>1.49Vo即这时的信号电压至少为1.49 Vo 习题&5设二进制双极性信号基带传输系统中，信号“0”和“1”是等概率发送的，在接 受匹配滤波器输出端抽样点上输出的信号分董电压为+1V或-1V,输出的噪声分董电压的方 差等于 1?试求其误码率。 解：由题意，噪声的方差= IV ,噪声平均功率Pn = ￡L = A = 1 = I % Pn 1 对于二进制双极性传输系统，最佳判决门限下的误码率为 习题8.6设二进制双极性信号最佳传输系统中.信号叩”和“1”是等槪率发送的，信 号码元的持续时间为「波形为幅度等于1的矩形脉冲。系统中加性鬲斯白噪声的双边功率 谱密度等于 10-1 W/Hz o试问为使误码率不大于10-4,最高传输速率可以达到多高？ 解：由題意，/?()/2 = 10^ W/Hz,因为：勺1 =仝=丄，二进制双极性最佳传输 系统的误码率为 查表可得：Jl/gB > 2.63 ,可求得B < 732 Hz o故置离传输速率可达到 3/2 = 362 b/so 习题8.7设二进制双极性信号灵佳传输系统中，信号“0”和竹”是等概率发送的，信号 传输速率为56 kb/s ,波形为不归零矩形脉冲，系统中加性高斯白噪声的双边功率谱密度为 10-4 W/Hzo试问为使误码率不大于10-4,需要的置小接受信号功率等于多少？ 解：由题意，n()/2 = 10-4 W/Hz，信号的传输速率为56 kb/s，假设接受滤波器的频 率特性为理想矩形，則带宽B=2x56=112kHz ,此条件下，系统的输入噪声功率为 Pn =HOB = 2X1O-4X112X1O3 =22.4W 设接收信号功率为则 P° = gerfcj瓦兀=gerfcJ&/22.4 < 10\ 可求得：Ps >154.9W,則需要的灵小接收信号功率等于154.9Wo
通信原理第七版课后答案解析樊昌信
