几何图形综合题
1. 如图，抛物线y＝ax2?2ax?c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A坐标为(4，0)． (1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN最小，并求出点K的坐标；
(3)已知D是OA的中点，点P在第一象限的抛物线上，过点P作x轴的平行线，交直线AC于点F，连接OF，DF.当OF＝DF时，求点P的坐标．
第1题图
解：(1)∵抛物线y＝ax－2ax＋c经过点A(4，0)，C(0，4)，
21??16a?8a?c?0?a??∴?,解得?2,
c?4???c?412∴抛物线的解析式为y＝－x＋x＋4；
212192(2)y＝－x＋x＋4＝－(x－1)＋，
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∴N(1，)，
2
如解图①，作点C关于x轴的对称点C′，则C′(0，－4)，连接C′N交x轴于点K，则K点即为使CK＋KN最小的K点位置．
第1题解图①
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设直线C′N的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点C′(0，－4)，N(1，)代入，得
2
?b??4?17??k?2 ?9,解得?k?b???2??b??4∴直线C′N的解析式为y＝
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x－4， 2
178
令y＝0，即x－4＝0，解得x＝，
2178
∴点K的坐标为(，0)；
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(3)如解图②，过F作FM⊥x轴于M， ∵D是OA的中点，
第1题解图②
∴D(2，0)， ∵OF＝DF， ∴OM＝MD， ∴M(1，0)，
∴点F的横坐标是1.
设直线AC的解析式为y＝mx＋n， 将点A(4，0)，C(0，4)代入， 得直线AC的解析式为y＝－x＋4， ∴点F的坐标为(1，3)， 12设P(t，－t＋t＋4)，则
2
12－t＋t＋4＝3，解得t＝1＋3或t＝1－3(舍去)， 2∴点P的坐标为(1＋3，3)．
2.如图，抛物线y?ax2?bx?c与x轴交于点A和点B (1，0)，与y轴交于点C(0，3)，其对称轴l为x＝－1. (1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．
①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标；
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
第2题图
解：(1)∵抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于点B(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，其对称轴l为直线x＝－1，
∴抛物线的解析式为y＝－x－2x＋3＝－(x＋1)＋4， ∴顶点坐标为(－1，4)； (2)令y＝－x－2x＋3＝0， 解得x1＝－3，x2＝1，
∴点A(－3，0)，
如解图，作PD⊥x轴于点D，对称轴l与x轴交于点Q，连接AC、OP，
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第2题解图
∵点P在y＝－x－2x＋3上， ∴设点P(x，－x－2x＋3)， ①∵PA⊥NA，且PA＝NA，
∴∠PAD＋∠APD＝∠PAD＋∠NAQ＝90°， ∴∠APD＝∠NAQ，
又∵∠PDA＝∠AQN＝90°， ∴△PAD≌△ANQ(AAS)， ∴PD＝AQ， 即－x－2x＋3＝2，
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2024青海中考数学考前专题复习-二次函数与几何图形综合题
