专题15 从全等到相似
例1 8
例2 C提示：分△PAD∽△PBC，△PAD∽△CBP两种情况讨论。 例3 提示：连接PC，则BP=CP，只要证明CP2?PE?PF即可。
例4 （1）若垂足H在线段AB上，如图1，由AH2?CH2?AC2，BH2?CH2?BC2,得
BH2?AH2?BC2?AC2，即(BH?AH)(BH?AH)?BC2?AC2，
BC2?AC2BC2?AC2BH?AHBC2?AC2BC2AC2AH①，又由???②，∴AB?，得，∴22BH?AHBCBHBH?AHBHBCBHBC2ABBC由①②得AB?，即，又∠B是△ABC和△CBH的公共角，∴△ABC∽△CHB，∠ACB=∠CHB=90?BHBCBHo，∠A+∠B=90o
（2）若垂足H在BA的延长线上，如图2，作边CA关于CH的对称线段CA＇，由（1）的结论知∠A＇＋∠
B=90o，而∠A＇=180o-∠A，代入上式得∠A-∠B=90o，综上所述（1）（2），有∠A+∠B=90o或∠A-∠B=90o。
例5 （1）在Rt△ABC中，∠ACB=90o，CD是AB上的中线，∴CD?1AB，∴CD=BD，∴∠BCE=∠ABC，2∵BE⊥CD，∴∠BEC=90o，∴∠BEC=∠ACB，∴△BCE∽△ABC，∴E是△ABC的自相似点。
（2）①作图略。作法如下：（ⅰ）在∠ABC内，作∠CBD=∠A，（ⅱ）在∠ACB内，作∠BCE=∠ABC，BD交CE于点P，则P为△ABC的自相似点。②连接PB，PC，∵P是△ABC的内心，∴
11?PBC??ABC,?PCB??ACB，∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC，∴∠PBC=∠A，∠
22BCP=∠ABC=2∠PBC=2∠A，∠ACB=2∠BCP=4∠A，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180o，∴∠A+2∠A+4∠A=180o，∴
?A?180?180?360?720?,∴三角形的三个内角的度数分别为。 ,,77772
例6 （1）AP=2t,DQ=t,QA=6-t，当AQ=AP时，即6-t=2t，解得t=2（秒）时，△QAP为等腰直角三角形。 （2）SQAPC=S△QAC+S△APC=(36-6t)+6t=36(cm)，在P、Q两点移动过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．⑶①当
QAAPQAAP6?t2t时，△QAP∽△ABC，由时，△PAQ∽△ABC，由??，得t=1.2(秒)；②当?ABBC126BCAB6?t2t?，得t=3(秒) ． 612A级 1.
25 2.2或4.5 3.①②③④ 4.⑴不一定 ⑵1 ⑶垂直 ⑷相等 5.A 6.A 7.C 4B?FFCB?FB?C， 或由△FB′C∽△ABC得， 8.C 9. ⑴5，??ABBCABBC提示：由△B′FC∽△ABC得
n2?1 ⑵略 ⑶②③正确，选取②证明或选取③证明． 10.提示：延长AC到D，使CD=BC，连结
BD，证明△ABC∽△ADB． 11.提示：⑴由△ACE≌△BCD，得∠EAC=∠ACB，故AE∥BC． ⑵由△ACE∽△BCD，得∠EAC=∠B=∠ACB，故AE∥BC． 12.提示：⑴延长BD至点P，使DP=BD，连结AB，CP，由
ABBE22AEAB，又∠PBC=45°+∠ABC=∠ABE，得△ABE∽△PBC，有，AE???PC．同理△ADF?BPBC22PCBP∽△APC，DF?2PC，故AE=DF．⑵由△ADF∽△APC，得∠ADF=∠APC，由△ABE∽△PBC，得∠BAE=∠2CPB．于是∠DAE+∠ADF=45°+∠BAE +∠ADF=45°+∠CPB+∠APC=90°．故AE⊥DF．
B级 1. 2 提示：EA?6.D 7.
123816DJ，EB?DJ，EA?CJ． 2. 或6 3. cm 4.A 5.D 4323314 提示：作BB′⊥AC，CC′⊥AB，DD′⊥AC，垂足分别为B′、C′、D′，易证△BOB′∽△DOD5′，有
BOBB?BB?ABBCCC?，又，又由Rt△BCC′∽Rt△ADD′，得． 8. 提示：BF=BD=AD，???ODDD?CC?ACADDD?△ABF∽△EBA． 9. 提示：⑴略 ⑵ 如图所示，延长BA至D，得AD=AC，则∠CAB=∠D+∠1=2∠D ，又∠CAB=2∠B，∴∠D=∠1=∠B，∵∠1=∠B，∠D=∠D，∴△ADC∽△CDB，∴故a=b(b+c)
C
a
D
1 b
a
2
DCAD2
，即DC=AD·DB，?DBDCc A
第9题图
B
10.⑴①22.5° ②过D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H，则△DEB≌△DEG，
BE=GE=
11GB，又△GBH≌△FDH，得GB=FD，故BE=FD． ⑵如图，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交221GB，∠BHD=∠GHB=90°，∠EBF=∠HDF，∴△GBH2于点G，与AB相交于点H，同理可证△DEB≌△DEG，BE=∽△FDH，∴
GBBHBEBHBHDHBHBA，即．又∵DG∥CA，∴△BHD∽△BAC，∴，即?????kFDDHFD2DHBACADHCABEBHBEk．∴??．
FD2DHFD2G E
F B
第10题图
D
C
H A
11.⑴如图1，连结PC，折痕MN垂直于PC，AC=BC，AP=BP，∵MN∥AB，∴不是边AB的中点时，
CMACPA．⑵当点P??1?CNBCPBPACM仍然成立．如图2，连结PC，则MN⊥PC，过点P作PE⊥AC于E，则PE∥?PBCNBC，PAAE．∵∠A=∠B=45°，∠APE=∠B=45°，∴AE=PE．∵∠MCN=90°，∴CP⊥MN，∴∠ECP=∠MNC．∴?PBECCMCNCMPEAEPACM．故，从而． ????PEECCNECECPBCNE
B
A M C
N P 图2
B
△MCN∽△PEC，得
C M A P 图1
N
第11题图
12.在PF上取点G，使GF=FM，CG∥DM，又取CA的中点L，连结GC，GN，LE，LF，则LE，LF分别为△ABC，△ACD的中位线，有LF∥AD，LE∥CB，得∠GCN=∠FLE，是F为△MNG的中位线，故是MN的中点．
D M
F K L A
E 第12题图
B
G C N
P
CGPCCN．故△CNG∽△LEF，NG∥EF，于??LFPLLE
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