第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法中正确的是( ) A．任意两个空间向量都可以比较大小
B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小
C．空间向量的大小与方向有关 D．空间向量的模可以比较大小 解析：由向量概念可知只有D正确． 答案：D
→
2．在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，与向量AD相等的向量共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4 答案：C
→→→→3．已知空间向量AB、BC、CD、AD，则下列结论正确的是( ) →→→A.AB＝BC＋CD →→→→B.AB－DC＋BC＝AD
1
→→→→C.AD＝AB＋BC＋DC →→→D.BC＝BD－DC
→→→→→→→→→
解析：AB－DC＋BC＝AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD. 答案：B
→＝a，BC→＝b，AC→＝c，4．已知正方形ABCD的边长为1，设AB则|a＋b＋c|等于( )
A．0 B．3 C．2＋2 D．22
解析：利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a→|＝22. ＋b＋c|＝2|AC
答案：D
5．在正方体ABCD量的是( )
→＋AD→＋AA→1 A.AB
→＋A→→C.AB1D1＋C1A1
→－AC→＋BB→1 B.AB
→＋CB→1－AB→ D.AC
A1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向
→＋A→→→→→→解析：在C选项中，AB1D1＋C1A1＝(AB＋AD)＋CA＝AC＋→＝0. CA
答案：C 二、填空题
6．两个非零向量的长度相等是两个向量相等的_______条件． 答案：必要不充分
7.如图，在以长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中．
2
(1)单位向量共有________个． (2)写出模为5的所有向量________．
解析：(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量→1，A→→→→→→→AA1A，BB1，B1B，C1C，CC1，DD1，D1D共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向→1，D→→→→→→→量有AD1A，A1D，DA1，C1B，BC1，B1C，CB1.
→1，D→→→→→→→答案：(1)8 (2)AD1A，A1D，DA1，C1B，BC1，B1C，CB1 →→→
8．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝→
c，则A1B＝________(用a，b，c表示)．
→→→→→→
解析：A1B＝CB－CA1＝CB－(CA＋CC1)＝－a＋b－c. 答案：－a＋b－c 三、解答题
9．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，画出表示下列向量的有向线段． →→→(1)AB＋AD＋AA1； →→→(2)AB＋CC1－DD1.
3
→→→→→→
解：如图(1)AB＋AD＋AA1＝AC＋AA1＝AC1.
→→→→→→→→→(2)AB＋CC1－DD1＝AB＋BB1－AA1＝AB1－AA1＝A1B1. →→
图中AC1，A1B1为所求．
10．已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′. →→→→
求证：AC＋AB′＋AD′＝2AC′.
证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形．
→→→→→→→→→
所以AC＝AB＋AD，AB′＝AB＋AA′，AD′＝AD＋AA′，
→→→→→→→→所以AC＋AB′＋AD′＝(AB＋AD)＋(AB＋AA′)＋(AD＋→→→→
AA′)＝2(AB＋AD＋AA′)．
→→→→
又因为AA′＝CC′，AD＝BC，
→→→→→→→→→所以AB＋AD＋AA′＝AB＋BC＋CC′＝AC＋CC′＝AC′，所→→→→以AC＋AB′＋AD′＝2AC′.
B级 能力提升
→→
1．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，AB＝DC，则下列向量
4
相等的是( )
→→A.AD与CB →→C.AC与DB 答案：D
→→→
2．已知点M是△ABC的重心，则MA＋MB＋MC＝________． →→→解析：设D为AB的中点，则MA＋MB＝2MD， →→
又M为△ABC的重心，则MC＝－2MD， →→→
所以MA＋MB＋MC＝0. 答案：0
→→
3．已知点G是△ABC的重心，O是空间任意一点，若OA＋OB→→
＋OC＝λOG，求λ的值．
→→B.OA与OC →→D.DO与OB
解：连接CG并延长交AB于D， 则D为AB中点，且CG＝2GD， →→→所以OA＋OB＋OC
→→→→→→→→→→→＝OG＋GA＋OG＋GB＋OG＋GC＝3OG＋GA＋GB＋GC＝3OG
5
高中数学人教A版第三章3.1-3.1.1空间向量及其加减运算
