第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算
A级 基础巩固
一、选择题
1.下列说法中正确的是( ) A.任意两个空间向量都可以比较大小
B.方向不同的空间向量不能比较大小,但同向的空间向量可以比较大小
C.空间向量的大小与方向有关 D.空间向量的模可以比较大小 解析:由向量概念可知只有D正确. 答案:D
→
2.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,与向量AD相等的向量共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4 答案:C
→→→→3.已知空间向量AB、BC、CD、AD,则下列结论正确的是( ) →→→A.AB=BC+CD →→→→B.AB-DC+BC=AD
1
→→→→C.AD=AB+BC+DC →→→D.BC=BD-DC
→→→→→→→→→
解析:AB-DC+BC=AB+BC+CD=AC+CD=AD. 答案:B
→=a,BC→=b,AC→=c,4.已知正方形ABCD的边长为1,设AB则|a+b+c|等于( )
A.0 B.3 C.2+2 D.22
解析:利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解,|a→|=22. +b+c|=2|AC
答案:D
5.在正方体ABCD量的是( )
→+AD→+AA→1 A.AB
→+A→→C.AB1D1+C1A1
→-AC→+BB→1 B.AB
→+CB→1-AB→ D.AC
A1B1C1D1中,下列选项中化简后为零向
→+A→→→→→→解析:在C选项中,AB1D1+C1A1=(AB+AD)+CA=AC+→=0. CA
答案:C 二、填空题
6.两个非零向量的长度相等是两个向量相等的_______条件. 答案:必要不充分
7.如图,在以长、宽、高分别为AB=4,AD=2,AA1=1的长方体ABCD-A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中.
2
(1)单位向量共有________个. (2)写出模为5的所有向量________.
解析:(1)由于长方体的高为1,所以长方体4条高所对应的向量→1,A→→→→→→→AA1A,BB1,B1B,C1C,CC1,DD1,D1D共8个向量都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共8个.
(2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为5,故模为5的向→1,D→→→→→→→量有AD1A,A1D,DA1,C1B,BC1,B1C,CB1.
→1,D→→→→→→→答案:(1)8 (2)AD1A,A1D,DA1,C1B,BC1,B1C,CB1 →→→
8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若CA=a,CB=b,CC1=→
c,则A1B=________(用a,b,c表示).
→→→→→→
解析:A1B=CB-CA1=CB-(CA+CC1)=-a+b-c. 答案:-a+b-c 三、解答题
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,画出表示下列向量的有向线段. →→→(1)AB+AD+AA1; →→→(2)AB+CC1-DD1.
3
→→→→→→
解:如图(1)AB+AD+AA1=AC+AA1=AC1.
→→→→→→→→→(2)AB+CC1-DD1=AB+BB1-AA1=AB1-AA1=A1B1. →→
图中AC1,A1B1为所求.
10.已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′. →→→→
求证:AC+AB′+AD′=2AC′.
证明:因为平行六面体的六个面均为平行四边形.
→→→→→→→→→
所以AC=AB+AD,AB′=AB+AA′,AD′=AD+AA′,
→→→→→→→→所以AC+AB′+AD′=(AB+AD)+(AB+AA′)+(AD+→→→→
AA′)=2(AB+AD+AA′).
→→→→
又因为AA′=CC′,AD=BC,
→→→→→→→→→所以AB+AD+AA′=AB+BC+CC′=AC+CC′=AC′,所→→→→以AC+AB′+AD′=2AC′.
B级 能力提升
→→
1.如图,在四棱柱的上底面ABCD中,AB=DC,则下列向量
4
相等的是( )
→→A.AD与CB →→C.AC与DB 答案:D
→→→
2.已知点M是△ABC的重心,则MA+MB+MC=________. →→→解析:设D为AB的中点,则MA+MB=2MD, →→
又M为△ABC的重心,则MC=-2MD, →→→
所以MA+MB+MC=0. 答案:0
→→
3.已知点G是△ABC的重心,O是空间任意一点,若OA+OB→→
+OC=λOG,求λ的值.
→→B.OA与OC →→D.DO与OB
解:连接CG并延长交AB于D, 则D为AB中点,且CG=2GD, →→→所以OA+OB+OC
→→→→→→→→→→→=OG+GA+OG+GB+OG+GC=3OG+GA+GB+GC=3OG
5
高中数学人教A版第三章3.1-3.1.1空间向量及其加减运算
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