复习模块：平面向量
一 、知识点
（1）平面向量的概念及线性运算
平面向量两要素：大小，方向。
?零向量：记作0，手写时记做0，方向不确定。单位向量：模为1的向量。
平行的向量（共线向量）：方向相同或相反的两个非零向量，记作a//b 。规定：零向量与任何一个向量平行。
相等向量：模相等,方向相同，记作a = b 。负向量：与非零向量a的模相等，方向相反的向量，记作?a。规定：零向量的负向量仍为零向量。
uuuruuuruuur向量加法的三角形法则：如图1，作AB=a, BC=b，则向量AC记作a＋b ，即
uuuruuuruuur a＋b =AB＋BC=AC ，和向量的起点是向量a的起点，终点是向量b 的终点．
a
B b A
a b C
D C B a+b
A 图2
图1
uuuruuuruuur向量加法的平行四边形法则：如图2，在平行四边形ABCD中，AB＋AD=AB＋uuuruuuruuuruuuruuurBC=AC, AC所表示的向量就是AB与AD的和．平行四边形法则不适用于共线向量。
向量的加法具有以下的性质：
（1）a＋0 = 0＋a = a； a＋（?a）= 0；（2）a＋b=b＋a；（3）（a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
向量的减法：起点相同的两个不共线向量a、 b，a与b的差运算的结果仍然是向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点．如图3。
uuuruuuruuuruuuruuura?b=a+(?b)，设a=OA，b?OB， 则OA?OB=BA B
b
a-b a
A
图3
O 向量的数乘运算：数与向量的乘法运算。一般地，实数?与向量a的积是一个向量，记作?a，它的模为 |?a|?|?||a| ， 若|?a|?0，则当?＞0时，?a的方向与a的方向相同，当?＜0时，?a的方向与a的方向相反．
共线向量充要条件：对于非零向量a、b，当??0时，有 a∥b?a??b 一
1
般地，有 0a= 0, ?0 = 0 .
线性组合：一般地，?a＋?b叫做a, b的一个线性组合．如果l ＝?a＋? b，则称l可以用a，b线性表示．
（2）平面向量的坐标表示
设点A(x1,y1)，B(x2,y2) ，则起点为A(x1,y1)，终点为B(x2,y2)的向量坐标为
uuurAB?(x2?x1，y2?y1)．
设平面直角坐标系中，a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则
a?b?(x1?x2,y1?y2) a?b?(x1?x2,y1?y2) ?a?(?x1,?y1) 由此得到，对非零向量a、 b，设a?(x1,y1),b?(x2,y2), 若a∥b?a??b
当??0时，a∥b?x1y2?x2y1?0．
（3）平面向量的内积
向量a与向量b的夹角，记作
内积的定义：两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，它是一个数量，又叫做数量积．记作a·b, 即 a·b＝｜a||b|cos
a?b. |a||b| （2）当b＝a时，有
对非零向量a，b， a·b＝0?a?b.
平面向量的内积的坐标表示：设平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2) a·b＝ x1 x2＋ y1 y2
夹角公式坐标表示：当a、b是非零向量时， cos 2 二、练习题 1．下列命题正确的是 （ ） A.单位向量都相等 B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C.若a·b＝0，则a＝0或b＝0 D.对于任意向量a、b，必有|a＋b|≤|a|＋|b| →→ 2．如图，四边形ABCD中，AB＝DC，则相等的向量是 （ ） →→ A. AD与CB →→ C. AC与BD →→B. OB与OD →→ D. AO与OC 3．下列命题中，正确的是 （ ） A.若|a|＝|b|，则a＝b B.若a＝b，则a与b是平行向量 C.若|a|＞|b|，则a＞b D.若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量 →→ 4．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量OB，OC， →→→→→→→→→ OD，OE，OF，AB，BC，CD，EF，DE，FA中与 → OA共线的向量有 （ ） C.3个 D.4个 → 5．若向量a＝（x＋3，x2－3x－4）与AB相等，其中A（1，2），B（3，2），则x等于（ ） A.1 B.0 C.－1 D.2 A.1个 B.2个 6．已知a＝（x，y），b＝(－y，x)(x，y不同时为零)，则a，b之间的关系是 （ ） A.平行 B.不平行也不垂直 C.垂直 D.以上都不对 7．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝0，则四边形ABCD是 （ ） A.矩形 B.菱形 C. 直角梯形 D. 等腰梯形 ????????????8．已知向量a=(2，1)，b=(-1，k)，a·(2a-b)=0，则k= （ ） A．-12 B．-6 1 41 2C．6 D．12 9．已知向量a=(1，2)，b=(1，0)，c=(3，4)，若?为实数，(a+?b)∥c，则?=（ ） A． B． C．1 D．2 10．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a+2b)=（ ） A．4 B．3 C．2 D．0 11．已知向量a=(1，k)，b=(2，2)，且a+b与a共线，那么a·b的值为 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 1，则|a+2b|= （ ） 212．设向量a，b满足|a|=|b|=1，a·b=-A．2 B．3 C．5 D．7 3 13．已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式 3xa＋(10－y)b＝2xb＋(4y＋4)a，则x＝_____，y＝_____. 14．若a与b、c的夹角都是60°，而b⊥c，且|a|＝|b|＝|c＝1，则（a－2c)·(b＋c)＝_____. 15．若向量a=(1，1)，b(-1，2)，则a·b等于_____________． 16．设向量a，b满足|a|=25，b=(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________． 17．已知向量a=(3，1)，b=(0，-1)，c=(k，3)，若a-2b与c共线，则k=__________． 18．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=___________． 三、解答题 19．已知a和b的夹角为60°，|a|＝10，|b|＝8，求： （1）|a＋b|；（2）a＋b与a的夹角θ的余弦值. 20． 已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，c＝xa＋yb，且a⊥c，|c|＝1，求x和y的值. 21．已知a＝（λ，2)，b＝(－3，5)且a与b的夹角是钝角，求实数λ的取值范围。 22．若向量a=(1，2)，b=(1，-1)，求2a+b与a-b的夹角。 23．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，求k的值。 4
中职数学平面向量复习
