一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，点M，N是射线OC上两动点(OM＜ON)，且运动过程中始终保持∠MAN＝45°，小明用几何画板探究其中的线段关系． (1)探究发现：当点M，N均在线段OB上时(如图1)，有OM2+BN2＝MN2． 他的证明思路如下：
第一步：将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP． 第二步：证明△APM≌△ANM，得MP＝MM． 第一步：证明∠POM＝90°，得OM2+OP2＝MP2． 最后得到OM2+BN2＝MN2． 请你完成第二步三角形全等的证明．
(2)继续探究：除(1)外的其他情况，OM2+BN2＝MN2的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)新题编制：若点B是MN的中点，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分)．
【答案】(1)见解析；(2)结论仍然成立，理由见解析；(3)见解析. 【解析】 【分析】
（1）将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN=OP．证明△APM≌△ANM，再利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图2中，当点M，N在OB的延长线上时结论仍然成立．证明方法类似（1）； （3）如图3中，若点B是MN的中点，求MN的长．利用（2）中结论，构建方程即可解决问题． 【详解】
（1）如图1中，将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．
∵点A(0，4)，B(4，4)， ∴OA＝AB，∠OAB＝90°，
∵∠NAP＝∠OAB＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠MAN＝∠MAP， ∵MA＝MA，AN＝AP， ∴△MAN≌△MAP(SAS)． （2）如图2中，结论仍然成立．
理由：如图2中，将△ANB绕点A顺时针旋转90°得△APO，连结PM，则有BN＝OP．
∵∠NAP＝∠OAB＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠MAN＝∠MAP， ∵MA＝MA，AN＝AP， ∴△MAN≌△MAP(SAS)， ∴MN＝PM，
∵∠ABN＝∠AOP＝135°，∠AOB＝45°， ∴∠MOP＝90°， ∴PM2＝OM2+OP2， ∴OM2+BN2＝MN2；
（3）如图3中，若点B是MN的中点，求MN的长． 设MN＝2x，则BM＝BN＝x， ∵OA＝AB＝4，∠OAB＝90°， ∴OB＝42， ∴OM＝42﹣x， ∵OM2+BN2＝MN2．
∴(42﹣x)2+x2＝(2x)2，
解得x＝﹣22+26或﹣22﹣26(舍弃) ∴MN＝﹣42+46． 【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2．两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．
【答案】（1）相等，垂直．（2）成立，证明见解析；（3）成立，结论是FH=FG，FH⊥FG． 【解析】
试题分析：（1）证AD=BE，根据三角形的中位线推出FH=FG∥BE，即可推出答案；
（2）证△ACD≌△BCE，推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案； （3）连接BE、AD，根据全等推出AD=BE，根据三角形的中位线定理即可推出答案． 试题解析：
（1）解：∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°， ∴BE=AD，
∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，
11AD，FH∥AD，FG=BE，2211AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE， 22∴FH=FG，
∴FH=
∵AD⊥BE， ∴FH⊥FG，
故答案为相等，垂直． （2）答：成立，
证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC， ∴△ACD≌△BCE ∴AD=BE，
11AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE， 22∴FH=FG，FH⊥FG，
∴（1）中的猜想还成立．
由（1）知：FH=
（3）答：成立，结论是FH=FG，FH⊥FG． 连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X， 同（1）可证
11AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE， 22∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形， ∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中
∴FH=
?AC＝BC???ACD＝?BCE ， ?CE＝CD?∴△ACD≌△BCE， ∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，
∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB， ∴∠DXB+∠EBC=90°， ∴∠EZA=180°﹣90°=90°， 即AD⊥BE， ∵FH∥AD，FG∥BE， ∴FH⊥FG， 即FH=FG，FH⊥FG，
结论是FH=FG，FH⊥FG.
【点睛】运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的中位线定理，旋转的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．
3．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y?x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y?x于点M，BC边交x轴于点N（如图）.
（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；
（3）设?MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.
【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析 【解析】
试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积； （2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数； （3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．
试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，
∴OA旋转了45°．
45??22?∴OA在旋转过程中所扫过的面积为?．
3602（2）∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°． ∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN． 又∵BA=BC，∴AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．
∴∠AOM=∠CON=
11（∠AOC-∠MON）=（90°-45°）=22.5°． 22∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°． （3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化． 证明：延长BA交y轴于E点，
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