2019-2020年高一数学平面向量的数量积的运算律教案
教材：平面向量的数量积的运算律
目的：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。 过程： 一、 复习：
1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质 2．判断下列各题正确与否： 1 2 3 4 5 6 7 8
若a = 0，则对任一向量b，有a?b = 0。 ( √ ) 若a 若a 若a
0，则对任一非零向量b，有a?b
0。 ( × )
0，a?b = 0，则b = 0。 ( × ) 0，a?b = a?c，则b = c。 ( × )
0时成立。 ( × )
若a?b = 0，则a 、b至少有一个为零。 ( × ) 若a?b = a?c，则b = c当且仅当a
2
2
对任意向量a、b、c，有(a?b)?c a?(b?c)。 ( × ) 对任意向量a，有a = |a|。 ( √ )
二、 平面向量的运算律
1． 交换律：a ? b = b ? a
证：设a，b夹角为，则a ? b = |a||b|cos ∴a ? b = b ? a 2． (a)?b =(a?b) = a?(b)
证：若> 0，(a)?b =|a||b|cos (a?b) =|a||b|cos a?(b) =|a||b|cos 若< 0，(a)?b =|a||b|cos( (a?b) =|a||b|cos a?(b) =|a||b|cos(3． (a + b)?c = a?c + b?c
在平面内取一点O，作= a, = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影 等于a、b在c方向上的投影和， 即：|a + b| cos ∴| c | |a + b| cos
2
，b ? a = |b||a|cos
， ， ，
) = ，
) = |a||b|(
cos
) =|a||b|cos
。
|a||b|(
cos
) =|a||b|cos
，
+ |b| cos
1
= |a| cos
12
=|c| |a| cos + |c| |b| cos
4． 例题：P118—119 例二、例三、例四 （从略）
∴c?(a + b) = c?a + c?b 即：(a + b)?c = a?c + b?c 三、 应用例题：（《教学与测试》第27课P156 例二、例三）
例一、 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a 5b垂直， a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角。 解：由(a + 3b)(7a (a
5b) = 0 ? 7a + 16a?b
2
2
2
15b = 0 ①
2
2
4b)(7a 2b) = 0 ? 7a
2
2
30a?b + 8b = 0 ②
两式相减：2a?b = b 代入①或②得：a = b 设a、b的夹角为
，则cos
= ∴ = 60
例二、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。 解：如图： ABCD中：，，=
∴||=|AB?AD|2?AB?AD?2AB?AD
2
22D C
而=
∴||=|AB?AD|?AB?AD?2AB?AD
A B ∴||+ ||= 2= |AB|2?|BC|2?|DC|2?|AD|2
2
2
2
222四、 小结：运算律
五、 作业： P119 习题5.6 7、8 《教学与测试》P152 练习
2019-2020年高一数学平面向量的数量积的运算律教案
