。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第二章 圆锥曲线与方程
(A卷 学业水平达标)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分) 1．抛物线y＝4x的准线方程是( ) A．x＝1 1
C．y＝ 16
B．x＝－1 1
D．y＝－ 16
2
112
解析：选D 由抛物线方程x＝y，可知抛物线的准线方程是y＝－.
416
2．(全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短1
轴长的，则该椭圆的离心率为( )
4
11A. B. 3223C. D. 34
解析：选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知B.
3．θ是任意实数，则方程x＋ysin θ＝4的曲线不可能是( ) A．椭圆 C．抛物线
B．双曲线 D．圆
2
2
xycb|－bc|
1c11＝×2b，解得＝，即e＝.故选
a22b2＋c24
解析：选C 由于θ∈R，对sin θ的值举例代入判断：
sin θ可以等于1，这时曲线表示圆；sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线；sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．
x2y2
4．设双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方
ab程为( )
A．y＝±2x
B．y＝±2x
1
C．y＝±
2x 21
D．y＝±x
2
2
2
解析：选C 由已知得到b＝1，c＝3，a＝c－b＝2， 因为双曲线的焦点在x轴上， 故渐近线方程为y＝±x＝±
ba2x. 2
5．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于( )
132
A.或 B.或2 223123C.或2 D.或 232
解析：选A 设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k.若曲线C为椭圆，则2a＝6k,2c＝3k，13∴e＝；若曲线C为双曲线，则2a＝2k,2c＝3k，∴e＝. 22
6．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( ) A．圆 C．双曲线
B．椭圆 D．抛物线
解析：选D 由题意得点P到直线x＝－2的距离与它到点(2,0)的距离相等，因此点P的轨迹是抛物线．
x2y2
7．(天津高考)已知双曲线－2＝1(b＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径
4b长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1 4443C.－＝1 D.－＝1 44412解析：
x23y2x2y2
x24y2
y2
x2
选D 由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x＋y＝4，
2
b22
2
x＋y＝4，??联立?by＝x，??2
22
??解得???y＝
x＝44＋b2b4＋b，2
2
??
或???y＝－
x＝－
44＋b2b4＋b2
，，2
即圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为
?4，2b??22?.
4＋b??4＋b由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为＝2b，
得b＝12.故双曲线的方程为－＝1.故选D.
412
―→―→1―→2―→
8．已知|AB |＝3，点A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，OP＝OA＋OB，
33则动点P的轨迹方程是( )
A.＋y＝1
4C.＋y＝1 9
2
84＋b，28×4b，故224＋b4＋b4bx2y2
x2x2
2
B．x＋＝1
4D．x＋＝1
9
2
2
y2y2
2
12
解析：选A 设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝(0，y0)＋(x0,0)，
33213―→?3?2222
即x＝x0，y＝y0，所以x0＝x，y0＝3y.因为|AB|＝3，所以x0＋y0＝9，即?x?＋(3y)
332?2?＝9，化简整理得动点P的轨迹方程是＋y＝1.
4
9．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是( )
252
A．y＝x
4452
C．x＝－y
2
2
x2
2
452
B．y＝x
4452
D．x＝－y
4
2
解析：选C 如果设抛物线的方程为y＝2px(p＞0)，则抛物线过点(40,30)，从而有3045＝2p×40，即2p＝，
2
3
所以所求抛物线方程为y＝
2
45x. 2
45452
虽然选项中没有y＝x，但C中的2p＝，符合题意．
22
10．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
12
A. B. 33222C. D. 33
解析：选D 将y＝k(x＋2)代入y＝8x，得kx＋(4k－8)x＋4k＝0.设A(x1，y1), B(x2，8－4ky2)，则x1＋x2＝2，x1x2＝4.抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，由|FA|＝2|FB|及抛
2
2
22
2
2
2
k物线定义得x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2＋2x2，代入x1x2＝4，整理得x2＋x2－2＝0，解得x28－4k8222
＝1或x2＝－2(舍去)．所以x1＝4，2＝5，解得k＝.又因为k＞0，所以k＝.
k93
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
11．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
412解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)． 答案：＋＝1
1612
12．设F1，F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y＝1与C1的一个交点，
623则△PF1F2的面积为________．
解析：由题意知|F1F2|＝26－2＝4， 设P点坐标为(x，y)．
2
2
x2y2
x2y2
x2y2x2
2
??6＋2＝1，
由?x??3－y＝1，
2
2
x2y2
32
?x＝±，?2得?
2
y＝±.??2
112
则S△PF1F2＝|F1F2|·|y|＝×4×＝2.
222答案：2
13．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4.点R是直线l上的一点．若RA―→＝AP―→，则点P的轨迹方程为________．
4
解析：设P(x，y)，R(a,2a－4)，则RA―→＝(1－a,4－2a)，AP―→＝(x－1，y)． ∵RA―→＝AP―→，
??1－a＝x－1，∴???4－2a＝y，
消去a得y＝2x.
答案：y＝2x
y2
14．已知二次曲线＋＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是
4m________．
解析：∵m∈[－2，－1]，
x2
y2
∴曲线方程化为－＝1，曲线为双曲线，
4－m∴e＝答案：
4－m56
.∵m∈[－2，－1]，∴≤e≤. 22256， 22
x2
三、解答题(本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
x2y2
15．(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线2－2＝1(a＞0，
abb＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点
??P?，6?，求抛物线的方程和双曲线的方程．
?
解：依题意，设抛物线的方程为y＝2px(p＞0)，
2
3?2
?3?∵点P?，6?在抛物线上， ?2?
3
∴6＝2p×，∴p＝2，
2∴所求抛物线的方程为y＝4x.
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上， ∴c＝1，即a＋b＝1.
2
2
2
?3?又∵点P?，6?在双曲线上， ?2?
∴
96
2－2＝1， 4ab2
2
a＋b＝1，??
解方程组?96
2－2＝1，??4ab
5
2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程阶段质量检测A卷(含解析)新人教A版选修2_1
