?U?n1C?T1??T1??n2C?T2?T1? （2）
由于容器是刚性绝热的，按热力学第一定律有
?U?0 （3）
令
V1表示容器A的体积, 初始时A中气体的压强为p1，关闭阀门后A中气
体压强为?p1，由理想气体状态方程可知
n?p1V1RT1(?p1)V1RT1? （4） （5）
n1?由以上各式可解得
T2??1???T1T1?
T1???T1由于进入容器B中的气体与仍留在容器A中的气体之间没有热量交换，因而在阀门打开到重新关闭的过程中留在容器A中的那部分气体经历了一个绝热过程，设这部分气体初始时体积为V10(压强为p1时)，则有
C?RC?Rp1V10C利用状态方程可得
?(?p1)V1C （6）
p1V10T1?(?p1)V1T1? （7）
由（1）至（7）式得，阀门重新关闭后容器B中气体质量与气体总质量之比
RCn2n?2??C?R??C?RR （8）
2????C?R
评分标准：
本题15分. （1）式1分，（2）式3分，（3）式2分，（4）、（5）式各1分，（6）式3分，（7）式1分，（8）式3分.
七、（16分）图中L1为一薄凸透镜，Q为高等于2.00cm与光轴垂直放置的
16
线状物，已知Q经L1成一实像，像距为40.0cm。现于L1的右方依次放置薄凹透镜L2、L3和薄凸透镜L4以及屏P，它们之间的距离如图所示，所有的透镜都共轴，屏与光轴垂直，L2、L3焦距的大小均为15.0cm。已知物Q经上述四个透镜最后在屏上成倒立的实像，像高为0.500cm。
1、L1焦距的大小为 cm，L4焦距的大小为 cm。
2、现保持Q、L1、L4和P位置不变，而沿光轴平移L2、L3，最后在屏上成倒立的实像，像高为1.82cm，此时L2和L1的距离为 cm，L3和L4的距离为 cm。
最后保留结果至小数点后一位。
答案与评分标准：
1. 19.2 (4分，填19.0至19.4的，都给4分)
10.2 (4分，填10.0至10.4的，都给4分) 2. 20.3 (4分，填20.1至20.5的，都给4分) 4.2 (4分，填4.0至4.4的，都给4分)
八、（18分）如图所示，竖直固定平行放置的两条相同长直导线1和2相距为a（a<<长直导线的长度），两导线中通有方向和大小都相同的稳恒电流，电流方向向上。导线中正离子都是静止的，每单位长度导线中正离子的电荷量为?；形成电流的导电电子以速度v0沿导线向下匀速运动，每单位长度导线中导电电子的电荷量为??。已知：单位长度电荷量为?的无限长均匀带电直导线在距其距离为r处产生的电场的强度大小
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为E?ke2?r，其中ke是常量；当无限长直导线通有稳恒电流I时，电流在距导线
?km2Ir距离为r处产生磁场的磁感应强度大小为B，其中km是常量。试利用狭义
相对论中的长度收缩公式求常量ke和km的比值。
提示：忽略重力；正离子和电子的电荷量与惯性参照系的选取无关；真空中的光速为c。
解：
在相对于正离子静止的参考系S中，导线中的正离子不动，导电电子以速度
v0向下匀速运动；在相对于导电电子静止的参考系S?中，导线中导电电
v0子不动，正离子以速度
向上匀速运动.下面分四步进行分析.
第一步，在参考系S?中，考虑导线2对导线1中正离子施加电场力的大小和方向.若S系中一些正离子所占据的长度为l，则在S?系中这些正离子所占据的长度变为l??，由相对论中的长度收缩公式有
??l1? l?v0c22 （1）
设在参考系S和S?中，每单位长度导线中正离子电荷量分别为?和???，由于离子的电荷量与惯性参考系的选取无关，故 ???l??由（1）和（2）式得 ??????l （2）
?1?vc202 （3）
设在S系中一些导电电子所占据的长度为l，在S?系中这些导电电子所占据的长度为l??，则由相对论中的长度收缩公式有
?1? l?l?v0c22 （4）
同理，由于电子电荷量的值与惯性参考系的选取无关，便有
??????1?vc202 （5）
式中，??和???分别为在参考系S和S?中单位长度导线中导电电子的电荷量.
在参照系S?中，导线2单位长度带的电荷量为
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?1?vc202 ????????????(??)1?v0c22??1?vc202v0c22 （6）
它在导线1处产生的电场强度的大小为 E??2ke??a?22ke?v0ca1?22v0c2 （7）
电场强度方向水平向左.导线1中电荷量为q的正离子受到的电场力的大小为 fe ???qE??2keq?v0ca1?222v0c2 （8）
电场力方向水平向左.
第二步，在参考系S?中，考虑导线2对导线1中正离子施加磁场力的大小和方向.在参考系S?中，以速度
?v0?I????v0向上运动的正离子形成的电流为
（9）
202?v01?vc导线2中的电流I?在导线1处产生磁场的磁感应强度大小为
B??2kmI?a?2km?v0a1?vc202 （10）
磁感应强度方向垂直纸面向外.导线1中电荷量为q的正离子所受到的磁场力的大小为
fm? ??qv0B??2kmq?v0a1?vc2022
（11）
方向水平向右，与正离子所受到的电场力的方向相反.
第三步，在参考系S中，考虑导线2对导线1中正离子施加电场力和磁场力的大小和方向.由题设条件，导线2所带的正电荷与负电荷的和为零，即
??(??)?0 （12） 因而，导线2对导线1中正离子施加电场力为零
fe??0 （13）
注意到在S系中，导线1中正离子不动
v1+?0
（14）
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导线2对导线1中正离子施加磁场力为零
fm??qv1+B?0 （15）
式中，B是在S系中导线2的电流在导线1处产生的磁感应强度的大小.于是，在S系中，导线2对导线1中正离子施加电场力和磁场力的合力为零.
第四步，已说明在S系中导线2对导线1中正离子施加电场力和磁场力的合力为零，如果导线1中正离子还受到其他力的作用，所有其它力的合力必为零 (因为正离子静止).在S?系中，导线2对导线1中正离子施加的电场力和磁场力的合力的大小为
???fe?? f??fm (16)
因为相对S?系，上述可能存在的其它力的合力仍应为零，而正离子仍处在勻速运动状态，所以(16)式应等于零，故 （17）
由（8）、（11）和（17）式得
评分标准：
本题18分. （1）至（18）式各1分.
kekm?c2???fe??fm
（18）
20
2012年第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案（完美Word版）
