四、（21分）如图所示，虚线小方框是由2n个电容器联成的有限网络；虚线大方框是并联的两个相同的无限网络，此无限网络的结构是：从左到中间，每个电容器的右极板与两个电容器的左极板相连，直至无穷；从中间到右，每两个电容器的右极板与一个电容器的左极板相连，直至联接到一个电容器为止。网络中的所有电容器都是完全相同的平行板真空电容器，其极板面积为S，极板间距为d（d??S）。整个电容网络体系与一内电阻可忽略不计的电池连接，
电池电动势恒定、大小为?。忽略电容器的边缘效应，静电力常量k已知。
1、若将虚线小方框中标有a的电容器的右极板缓慢地向右拉动，使其两极板的距离变为，求在拉动极板过程中电池所做的功和外力所做的功。
2、在电容器两极板的距离变为2d后，再将一块与电容器a的极板形状相同、面积也为S、带电荷量为Q（Q?0）的金属薄板沿平行于a的极板方向全部插入
到电容器a中，使金属薄板距电容器a左极板的距离为x。求此时电容器a的左极板所带的电荷量。
解：
参考解答：
1．虚线小方框内2n个平行板电容器每两个并联后再串联，其电路的等效电容Ct1满足下式
即
Ct1?式中
C?S4?kd2Cn1Ct1?n2C （1）
（2）
（3）
Ct2满足下式
虚线大方框中无限网络的等效电容
即
Ct2?C21Ct211?1??2????????
4C8C?2C? （4）
（5）
整个电容网络的等效电容为
Ct?CtC1Ct1?Ct2?t2Cn?42 （6）
等效电容器带的电量（即与电池正极连接的电容器极板上电量之和）
11
qt?Ct??S?(n?4)2?kd （7）
当电容器a两极板的距离变为2d后，2n个平行板电容器联成的网络的等效电容Ct1?满足下式 由此得
?? Ct16C3n?11?Ct1?n?12C?23C （8）
（9）
整个电容网络的等效电容为
Ct???Ct2Ct1??Ct2Ct1?6C3n?13 （10）
整个电容网络的等效电容器带的电荷量为
为
（12）
电容器储能变化为
?U?122qt??Ct???3S?(3n?13)2?kd （11）
在电容器a两极板的距离由d变为2d后，等效电容器所带电荷量的改变
S?(3n?13)(n?4)2?kd?qt?qt??qt??
?C??t2?Ct?2???S?2(3n?13)(n?4)2?kd （13）
在此过程中，电池所做的功为 （14）
外力所做的功为
A???U?A?S?2A??qt???S?2(3n?13)(n?4)2?kd
2(3n?13)(n?4)2?kd （15）
2.设金属薄板插入到电容器a后，a的左极板所带电荷量为q?，金属薄板左侧带电荷量为?q?，右侧带电荷量为(q??Q)，a的右极板带电荷量为?(q??Q)，与a并联的电容器左右两极板带电荷量分别为q??和?q??.由于电容器a和与其并联的电容器两极板电压相同，所以有
q??C?q?S4?kx?(q??Q)S4?k(2d?x)2d?xd （16）
由（2）式和上式得 q??q???3q??Q （17）
上式表示电容器a左极板和与其并联的电容器左极板所带电荷量的总和，也是虚线大方框中无限网络的等效电容Ct2所带电荷量（即与电池正极连接的电容器的极板上电荷量之和）.
整个电容网络两端的电压等于电池的电动势，即
q??q??ct2?(n?1)q??q??2C?q??C?? （18）
12
将（2）、（5）和（17）式代入（18）式得电容器a左极板带电荷量
评分标准：
本题21分. 第1问13分，（2）式1分，（5）式2分，（6）、（7）、（10）、（11）、（12）式各1分，（13）式2分,（14）式1分，（15）式2分.
第2问8分，（16）、（17）、（18）、（19）式各2分.
q??S?(3n??1?3kd)2(n?5)(?d2n?(d3x)Q 13) （19）
五、（25分）如图所示，两个半径不等的用细金属导线做成的同心圆环固定在水平的桌面上。大圆环半径为R1，小圆环表面绝缘半径为R2（R2，两圆环??R1）
导线每单位长度电阻均为r0，它们处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向竖直向下，一每单位长度电阻为r1的长直金属细杆放在大圆环平面上，并从距圆
环中心左侧为R1/100（>R2）的ab位置，以速度v匀速向右沿水平面滑动到相对于大圆环中心与ab对称的位置cd，滑动过程中金属杆始终与大圆环保持密接。假设金属杆和大圆环的电流在小圆环处产生的磁场均可视为匀强磁场。试求在上述滑动过程中通过小圆环导线横截面的电荷量。
提示：当半径为R，长度为l的一段圆弧导线通有电流I时，圆弧电流在圆心处产生的磁感应强度大小为B?kmIlR2，方向垂直于圆弧所在平面且与圆弧电流的
方向满足右手螺旋法则；无限长直导线通有电流I时，电流在距直导线距离为r处产生的磁感应强度B的大小为B解：
参考解答:
如图1所示，当长直金属杆在ab位置以速度v错误！未指定书签。水平向右滑动到时，因切割磁力线，在金属杆中产生由b指向a的感应电动势的大小为
??BLv （1）
?km2Ir，其中km为已知常量。
a c l1 I1 l2 I I2 式中L为金属杆在错误！未指定书签。位置时与大圆环
两接触点间的长度，由几何关系有
13
b 图 1
?R???1??2R1 （2） ?100?2 L?2R12在金属杆由错误！未指定书签。位置滑动到cd位置过程中，金属杆与大圆环接触的两点之
d
间的长度L可视为不变，近似为2R1.将（2）式代入（1）式得，在金属杆由错误！未指定书签。滑动到cd过程中感应电动势大小始终为 ?两端的电压，由欧姆定律有 感应强度的大小分别为
B1?km?kmI1l1R12?2BR1v
（3）
以I、I1和I2分别表示金属杆、杆左和右圆弧中的电流，方向如图1所示，以Uab表示a、b
Uab?I1l1r Uab?I2l2r （4） （5）
式中，l1和l2分别为金属杆左、右圆弧的弧长.根据提示，l1和l2中的电流在圆心处产生的磁
（6） （7）
B2B1方向竖直向上，B2I2l2R12方向竖直向下.
由（4）、（5）、（6）和（7）式可知整个大圆环电流在圆心处错误！未找到引用源。产生
的错误！未找到引用源。为
B0?B2?B1?0 （8） 无论长直金属杆滑动到大圆环上何处，上述结论都成立，于是在圆心处只有金属杆错误！未找到引用源。的电流I所产生磁场.
在金属杆由ab滑动到cd的过程中，金属杆都处在圆心附近，故金属杆可近似视为无限长直导线，由提示，金属杆在ab位置时，杆中电流产生的磁感应强度大小为
B3?km2IR1100 （9）
方向竖直向下.对应图1的等效电路如图2，杆中的电流 I?R??R左R右R左?R右 （10）
Ra I1 左 I Rab b ε I2 R右 其中R为金属杆与大圆环两接触点间这段金属杆的电阻，R左和R右分别为金属杆左右两侧圆弧的电阻，由于长直金属杆非常靠近圆心，故
Rab?2R1r,1左R=右R?? r R1（11）
图 2 利用（3）、（9）、（10）和（11）式可得
B3?800kmvBR1(4r1??r0) （12）
由于小圆环半径错误！未找到引用源。，小圆环圆面上各点的磁场可近似视为均匀的，
且都等于长直金属杆在圆心处产生的磁场. 当金属杆位于ab处时，穿过小圆环圆面的磁感应通量为
?ab??RB22 3 （13）
当长直金属杆滑到cd位置时，杆中电流产生的磁感应强度的大小仍由(13)式表示，但方向
相反，故穿过小圆环圆面的磁感应通量为
14
?cd??R2(?B)3
2 （14）
在长直金属杆以速度错误！未找到引用源。从ab移动到cd的时间间隔?t内，穿过小
圆环圆面的磁感应通量的改变为
2 ????cd??a??2?RB2 3 （15） b由法拉第电磁感应定律可得，在小圆环中产生的感应电动势为大小为 ?i
?????t?2?R2B3?tR2B3r0?t2 （16）
在长直金属杆从ab移动cd过程中，在小圆环导线中产生的感应电流为
Ii??i2?R2r0? （17）
于是，利用（12）和（17）式，在时间间隔?t内通过小环导线横截面的电荷量为
评分标准：
本题25分. （3）式3分，（4）、（5）式各1分， （8）、（10）式各3分，（12）式3分, （15）式4分，（16）、（17）式各2分，（18）式3分.
Q?Ii?t?R2B3r0?800kmvBR2R1r0(4r1??r0) （18）
六、（15分）如图所示，刚性绝热容器A和水平放置，一根带有绝热阀门和多孔塞的绝热刚性细短管把容器A、B相互连通。初始时阀门是关闭的，A内装有某种理想气体，温度为T1；
B
B
内为真空。现将阀门打开，气体缓慢通过多孔塞后进入容器B中。当容器A中气体的压强降到与初始时A中气体压强之比为?时，重新关闭阀门。设最后留在容器A内的那部分气体与进入容器B中的气体之间始终无热量交换，求容器B中气体质量与气体总质量之比。已知：1摩尔理想气体的内能为u?CT，其中C是已知常量，T为绝对温度；一定质量的理想气
C?R体经历缓慢的绝热过程时，其压强p与体积V满足过程方程pV中R为普适气体常量。重力影响和连接管体积均忽略不计。
解：
C?常量，其
设重新关闭阀门后容器A中气体的摩尔数为n1，B中气体的摩尔数为n2，则气体总摩尔数为
n?n1?n2 （1）
把两容器中的气体作为整体考虑，设重新关闭阀门后容器A中气体温度为
T1?，B
中气体温度为T2，重新关闭阀门之后与打开阀门之前气体内能的变
化可表示为
15
2012年第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案（完美Word版）
