这是关于Rx的四次方程，用数值方法求解可得
Rx?4.7Re?3.0?104km （13） 【
Rx亦可用开普勒第二定律和能量守恒定律求得.令
Reve?Rx?2ve表示卫星与赤道相切
点即近地点的速率，则有
GMmRx和
12mve?2GMmRe?12m(Rx?)?2
由上两式联立可得到方程
?Rx??Rx?2GMRx2GM?23?0 ??????23?ReRe?Re?Re??Re?53
其中除
Rx.】
Rx外其余各量均已知, 因此这是关于Rx的五次方程. 同样可以用数值方法解得
卫星从脱离太空电梯到与地球赤道相切经过了半个周期的时间，为了求出卫星运行的周期T?，设椭圆的半长轴为a?，半短轴为b?，有
a??Rx?Re2 (14)
2 b??因为面积速度可表示为
?s??所以卫星的运动周期为
代入相关数值可得
12?R?Re?2a???x?2?? (15)
Rx? (16)
2T???a?b??s? (17)
T??6.8h (18)
卫星与地球赤道第一次相切时已在太空中运行了半个周期，在这段时间内，如果地球不转动，卫星沿地球自转方向运行180度，落到西经(180??110?)处与赤道相切. 但由于地球自转，在这期间地球同时转过了?T?/2角度，地球自转角速度??360?/24h?15?/h，因此卫星与地球赤道相切点位于赤道的经度为西经
??180??110???T?2?121? （19）
即卫星着地点在赤道上约西经121度处.
评分标准：
本题23分.
第1问16分，第i小问8分，(1)、(2)式各2分，（4）式2分，（5）式和结论共2分.第ii小问8分，（9）、（10）式各2分，说出在0-12小时时间段内卫星不可能与太空电梯相遇并给出正确理由共2分，说出在12-24小时时间段内卫星必与太空电梯相遇并给出正确理由共2分.
第2问7分，(11)式1分， (13)式2分，（18）式1分，（19）式3分. （数值结果允许有5%的相对误差）
6
三、（25分）如图所示，两根刚性轻杆AB和BC在
B段牢固粘接在一起，AB延长线与BC的夹角?为
锐角，杆BC长为l，杆AB长为lcos?。在杆的A、B和C三点各固连一质量均为m的小球，构成一刚性系统。整个系统放在光滑水平桌面上，桌面上有一固定的光滑竖直挡板，杆AB延长线与挡板垂直。现使该系
统以大小为v0、方向沿AB的速度向挡板平动。在某时刻，小球C与挡板碰撞，碰撞结束时球C在垂直于挡板方向的分速度为零，且球C与挡板不粘连。若使球C碰撞后，球B先于球A与挡板相碰，求夹角?应满足的条件。
解：
解法一
如图1所示，建直角坐标Oxy，x轴与挡板垂直，y轴与挡板重合. 碰撞前体系质心的速度为v0，方向沿x轴正方向，以P表示系统的质心，以vPx和vPy表
示碰撞后质心的速度分量，J表示墙作用于小球C的A 冲量的大小. 根据质心运动定理有
?J?3mvPx?3mv0 （1） 0?3mvPy?0 （2）
B O y ?P ? x 由（1）和（2）式得 vPx?3mv0?J3mlCP C （3）
vPy?0 （4） 可在质心参考系中考察系统对质心的角动量. 在球C与挡板碰撞过程中，质心的坐标为 xP??lco?s （5）
13图1
? （6） yP??lsin球C碰挡板前，三小球相对于质心静止，对质心的角动量为零；球C碰挡板后，质心相对质心参考系仍是静止的，三小球相对质心参考系的运动是绕质心的转动，若转动角速度为?，则三小球对质心P的角动量
222 L?m?AlP?m?BlP??m l （7）CP式中lAP、lBP和
lCP分别是A、B和C三球到质心P的距离，由图1可知
19lsin? （8）
22222?lcos?? lAP7
2lBP?21922lsin? （9）
lCP?lcos??224922lsin? （10）
由（7）、（8）、（9）和（10）各式得
L?23 ml?(1?2cos?) （11）
22在碰撞过程中，质心有加速度，质心参考系是非惯性参考系，在质心参考系中考察动力学问题时，必须引入惯性力. 但作用于质点系的惯性力的合力通过质心，对质心的力矩等于零，不影响质点系对质心的角动量，故在质心参考系中，相对质心角动量的变化仍取决于作用于球C的冲量J的冲量矩，即有 J23lsin?? （12）L【也可以始终在惯性参考系中考察问题，即把桌面上与体系质心重合的那一点作为角动量的
参考点，则对该参考点(12)式也成立】
由（11）和（12）式得
??Jsin?ml(1?2cos?)2 (13) 球
(14)
C相对于质心参考系的速度分量分别为（参考图1）
vCPx???lCPsin????(lsin??|yP|)vCPy???lCPcos????lcos? (15)
球C相对固定参考系速度的x分量为
vCx?v由（3）、（6）、（13） 和 （16）各式得
vCx??CPx?v P （16）
J?v0
m(1?2cos?)2 （17）
根据题意有
由（17）和（18）式得
vCx?0 （18）
2J?mv0(1?2cos?) y （19） 由（13）和（19）式得
??v0sin?l （20）
A O P B x 球A若先于球B与挡板发生碰撞，则在球C与挡板碰撞后，整
个系统至少应绕质心转过???角，即杆AB至少转到沿y方向，如图2所示. 系统绕质心转过???所需时间
12 t? （21） ?在此时间内质心沿x方向向右移动的距离
C ?x?vPxt （22） 若
yP??x?xP （23） 图2
?则球B先于球A与挡板碰撞. 由（5）、（6）、（14）、（16）、（18）、（21）、（22）和（23）式得 ??arctan即
8
31?? （24）
??36? (25)
评分标准：
本题25分.（1）、（2）、（11）、（12）、（19）、（20）式各3分，（21）式1分，（22）、（23）式各2分.(24)或(25)式2分.
解法二
如图1所示，建直角坐标系Oxy，x轴与挡板垂直，y y轴与挡板重合，以vAx、vAy、vBx、vBy、vCx和 vCy分别
vAy A vBy 表示球C与挡板刚碰撞后A、B和C三球速度的分量，根据题意有
vCx?0 （1） 以J表示挡板作用于球C的冲量的大小，其方向沿x轴的负方向，根据质点组的动量定理有 ?J?mvAx?mvBx3 ?mv （2） 0?mvAy?mvByvAxB vBx O ?P x vCy CC 图1
?mv C （3）
以坐标原点O为参考点，根据质点组的角动量定理有 Jlsin??mvAy?lco?s?lc?os?vmB?yl?co?svm0l ? s i n （4） 因为连结小球的
杆都是刚性的，故小球沿连结杆的速度分量相等，故有
vAx?vB x （5）
vCysin??vvAxco?s?vBysi?n?vBxc?o s （6） s?in （7）
Aysi?n??vCy（7）式中?为杆AB与连线AC的夹角. 由几何关系有
co?s?2co?s1?3co?ssin??sin?1?3cos?22 （8） （9）
解以上各式得
J?mv0(1?vAx2co?s2 ) （10）
?v0sin?2 （11） c?os （12）
sin? vAy?v0
vBx?v0sin?2 （13）
vBy?0 （14）
sin? vCy??v0c?os （15）
按题意，自球C与挡板碰撞结束到球A (也可能球B)碰撞挡板墙前，整个系统不受外力
作用，系统的质心作匀速直线运动. 若以质心为参考系，则相对质心参考系，质心是静止不动的，A、B和C三球构成的刚性系统相对质心的运动是绕质心的转动. 为了求出转动角
9
速度，可考察球B相对质心的速度.由(11)到(15)各式，在球C与挡板碰撞刚结束时系统质心P的速度
vPx?vPy?mvAx?mvBx?mvCx3mmvAy?mvBy?mvCy3m?232v0sin? （16）
?0 （17）
这时系统质心的坐标为
xP??lco?s （18）
yP??13lsin? （19）
不难看出，此时质心P正好在球B的正下方，至球B的距离为速度
vBPx?v?vBx1?Px32yP，而球B相对质心的
vsin? （20） 0vBPy?0 （21）
可见此时球B的速度正好垂直BP，故整个系统对质心转动的角速度 ??vBPxyP?v0sin?l （22）
若使球A先于球B与挡板发生碰撞，则在球C与挡板碰撞后，整个系统至少应绕质
心转过π/2角，即杆AB至少转到沿y方向，如图2所示. 系统绕质心转过π/2所需时间
12 t?π? （23）
在此时间内质心沿x方向向右移动的距离
（24） 若
yP??x?xP?x?vPxt
y （25） A O B x 则球B先于球A与挡板碰撞. 由以上有关各式得
3 ??arctan （26）
1??即
??36? (27)
评分标准：
本题25分. （2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）式各2分，（10）、（22）式各3分，（23）式1分，（24）、（25）式各2分，（26）或(27)式2分.
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P C 图2
2012年第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案（完美Word版）
